定積分の問題について

質問

F(x)＝∫(0→x)(x＋t)e^tdtをxについて微分せよ。
という問題なのですが、自分で解いたところ、
F(x)＝∫(0→x)xe^tdt＋∫(0→x)te^tdt
　　＝x∫(0→x)e^tdt＋∫(0→x)te^tdt

F´(x)＝xe^x＋xe^x＝2xe^x
となったのですが、解答は、2xe^x＋e^x－1 でした。
どうやって解けばこの答えが出るのかわかりません。
どうか教えてください。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>F(x)＝∫(0→x)xe^tdt＋∫(0→x)te^tdt
>　　＝x∫(0→x)e^tdt＋∫(0→x)te^tdt

の最後の式の第一項(x∫(0→x)e^tdt)は、
f(x)=x,g(x)=∫(0→x)e^tdtとすれば、f(x)g(x)の形ですから、その微分はf'(x)g(x)+f(x)g'(x)です。

お礼

理解できました。
わかりやすく説明してくださって、どうもありがとうございました。

回答No.4

springside

回答は下記の方々と同じなのですが、このタイプの問題は、まさにmukamikamauさんのようなミスを期待する「ひっかけ問題」といった感じの側面がありますので、要注意です。

F(x)＝∫(0→x)xe^tdt＋∫(0→x)te^tdt
　　＝x∫(0→x)e^tdt＋∫(0→x)te^tdt

と変形した後、第２項はいいとして、第１項は、

「x と ∫(0→x)e^tdtの積になっているから積の微分法を使わなければならない」

ということに気付く必要があります。

お礼

理解できました。
わかりやすく説明してくださって、どうもありがとうございました。

回答No.3

nenkin2005

F´(x)＝{x∫(0→x)e^tdt}´＋{∫(0→x)te^tdt}´
となりますが、

{x∫(0→x)e^tdt}´＝xe^x＋∫(0→x)e^tdt＝xe^x＋e^x－1
{∫(0→x)te^tdt}´＝xe^x
となるため、解答が導き出されます。

お礼

理解できました。
わかりやすく説明してくださって、どうもありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

素直に定積分を実行してから微分すれば出るけど, x∫(0→x) e^t dt を x で微分すると ∫(0→x) e^t dt + x e^t ですよね?

お礼

理解できました。
わかりやすく説明してくださって、どうもありがとうございました。