微分から考える積分？

質問

積分の解き方で、微分して被積分関数になる式を考えてそれをもとに積分する・・・以下のようなもの

∫4x * sqrt(4-x^2) dx

{(4-x^2)^3/2}' = -3x(4-x^2)^1/2 より

∫4x * sqrt(4-x^2) dx = -4/3(4-x^2)^3/2

がありますが、微分して被積分関数になる式の作り方が良く分からないのですが、何かやり方があるのでしょうか？
また、この解き方を用いるのはどのような場合の積分でしょうか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

> ∫4x * sqrt(4-x^2) dx = -4/3(4-x^2)^3/2

不定積分には積分定数（任意定数）「+C」をつけるように！

> 微分して被積分関数になる式の作り方が良く分からないのですが、何かやり方があるのでしょうか？

色々な問題を解いて経験を積めば式をみれば分かるようになるでしょう。

>この解き方を用いるのはどのような場合の積分でしょうか？

今回の問題は公式
∫g'(x)f'(g(x))dx=f(g(x))+C …（★）
を適用するだけの問題です。

> {(4-x^2)^3/2}' = -3x(4-x^2)^1/2 より

星の両辺を微分すれば質問者さんの言う場合の積分に該当するかと思います。
　g'(x)f'(g(x))={f(g(x))}'　…(☆)
今回の問題では
　f(x)=x^(3/2), g(x)=4-x^2
となります。
積分が（★）の形式であることが見抜ければ、この（☆）の公式が使えることが
分かるはずです。さっと分からなければまだ演習問題を解く経験不足ということです。

この公式を適用する例として幾つか挙げておきます。

例）∫(x^2)/√(1-x^6) dx
例）∫(x^3)sin(x^4+2) dx
例) ∫(x^5)log(4+x^6) dx
例) ∫(x^2)e^(-2x^3+5) dx
例) ∫x/cos^2(x^2) dx
など

お礼

回答ありがとうございます。提示された公式は存じませんでした。
基本的な知識が抜けているようなので基礎からやり直します。

回答No.3

spring135

微分して被積分関数になる式は不定積分を探していることになり、
「数学公式集の不定積分の公式の中で探す。」のが一般的です。
しかし見つからない場合の方が圧倒的に多いでしょう。

試験などで公式集が使えない場合、または手元にない場合、
置換積分が有効です。
むしろ置換積分の結論を示しているだけかと思われます。

∫4x * sqrt(4-x^2) dx
の場合
x=2sintと置くとdx=2costdtを用いて

I=∫4x * sqrt(4-x^2) dx＝32∫sintcos^2tdt

d(cos^3t)/dt=-3sintcos^2tより

I=(-32/3)cos^3t=-(4/3)(4-x^2)^(3/2)

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、置換すると大分簡単になりますね。
参考にさせていただきます。

回答No.1

Tacosan

基本は「知ってるかどうか」だと思う.

まあ今の場合ならそこまでせずとも置換積分で事足りるわけだが.

お礼

回答ありがとうございます。
演習が必要ということですね。