不定積分たち

質問

①∮（0→2）2x+1/√（x^2+4）=?

②∮(0→√3)x/x+√（x^2+1）dx=?

③∮(0→π)sinx/cos^2x+4cosx+3=?

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

①
（与式）= ∫(0→2) { 2x / √(x^2+4) } dx + ∫(0→2) { 1 / √(x^2 + 4) } dx
と分割し、第1式の値をI , 第2式の値をJ とする。
I について
x^2 + 4 = t と置換する。微分して
2x dx = dt
また x=0 のとき t=4 , x=2 のとき t=8 なので
I = ∫(0→2) { 2x dx / √(x^2 + 4) }
= ∫(4→8) (dt / √t)
= ∫(4→8) t^(-1/2) dt
= [ 2 t^(1/2) ] (4→8)
= 2 (2√2 - 2)
= 4√2 - 4

Jについて
x = u - (1/u) と置換する。微分して
dx = { 1 + (1/u^2) } du
また x=0 に対して u=1 , x=2 に対して u=1+√2 ととれる。
x^2 + 4 = { u^2 - 2 + (1/u^2) } + 4 = u + (1/u)
u > 0 のとき u + (1/u) > 0 なので
√(x^2 + 4) = u + (1/u) となる。よって
J = ∫(0→2) { 1 / √(x^2 + 4) } dx
= ∫(1→1+√2) [ 1 / { u + (1/u) } ] { 1 + (1/u^2) } du
= ∫(1→1+√2) { u / (u^2 + 1) } { (u^2 + 1) / u^2 } du
= ∫(1→1+√2) (1/u) du
= [ log | u | ] (1→1+√2)
= log (1+√2) - log 1
= log (1+√2)

よって求める値は 4√2 - 4 + log (1+√2) …答

②
まず、被積分関数の分母の有理化を行う。
x / { √(x^2 + 1) + x }
= { x (√(x^2 + 1) - x) } / { (√(x^2 + 1) + x) (√(x^2 + 1) - x) }
= { x (√(x^2 + 1) - x) } / { (x^2 + 1) - x^2 }
= x√(x^2 + 1) - x^2
よって
（与式）= ∫(0→√3) x√(x^2 + 1) dx - ∫(0→√3) x^2 dx …(*)
(*) の第1項をI , 第2項をJ とおく。
I について
x^2 + 1 = t と置換する。微分して
2x dx = dt
また x=0 のとき t=1 , x=√3 のとき t=4 なので
(*) = ∫(0→√3) (1/2) √(x^2 + 1) * 2x dx
= ∫(1→4) (1/2) √t dt
= [ (1/2) (2/3) t^(3/2) ] (1→4)
= (1/3) * 8 - (1/3) * 1
= 7/3
J = [ (1/3) x^3 ] (0→√3)
= (1/3) 3√3 - 0
= √3
以上より求める値は (7/3) + √3 …答

③
積分区間が0からπとなっていますが、x = π のときは cos x = -1 となり
（分母）= (cos x)^2 + 4 cos x + 3
の値が0になってしまいます。問題文のミスではないでしょうか。
※たぶん cos x = t と置換したあと部分分数分解に持ち込ませる問題だと推測されます

補足

3番ですが積分区間は0からπ/3の間違いでした。
cosをtとおいて、置換ですかね？
いつも丁寧で分かりやすい説明助かっております。