不定積分の問題です

質問

∫1/(x^6-1)dx
∫2x^2-3x-9/(x+1)(x^2+4x+5)dx
∫1/(1+2cosx)dx
∫sinx/(1+sinx+cosx)dx がわかりません

回答No.3

alice_44

＞ 一番上の問題は実部分数分解では解くことができたのですが

なら、それでいいんじゃないかなあ。
一問目が解けたなら、二問目も実部分数分解で解けるでしょう。

複素部分数分解のほうが、むしろ簡単なんだけれど、
一応書いておくと…

式の短縮のため、ζk = e^(2πi(k/6)) k=0,1,2,3,4,5 と書くことにする。
x^6-1 = (x-ζ0)(x-ζ1)(x-ζ2)(x-ζ3)(x-ζ4)(x-ζ5) だから、
1/(x^6-1) は、x = ζk k=0,1,2,3,4,5 に各々 1 位の極を持ち、
1/(x^6-1) = C0/(x-ζ0) + C1/(x-ζ1) + C2/(x-ζ2) + C3/(x-ζ3) + C4/(x-ζ4) + C5/(x-ζ5) ←[*]
(ただし Ck k=0,1,2,3,4,5 は定数) と部分分数分解できる。

[*]式両辺に (x-ζk) を掛けて x→ζk の極限をとれば、
左辺 = 1/{lim[x→ζk] (x^6-1)/(x-ζk)} = 1/{6(ζk)^5},
右辺 = Ck. で、Ck = (ζk)/6 と判る。

[*]式に Ck の値を代入して、積分すると、
∫1/(x^6-1)dx = ((ζ0)/6) ∫1/(x-ζ0)dx + ((ζ1)/6) ∫1/(x-ζ1)dx + ((ζ2)/6) ∫1/(x-ζ2)dx + ((ζ3)/6) ∫1/(x-ζ3)dx + ((ζ4)/6) ∫1/(x-ζ4)dx + ((ζ5)/6) ∫1/(x-ζ5)dx
= ((ζ0)/6) log(x-ζ0) + ((ζ1)/6) log(x-ζ1) + ((ζ2)/6) log(x-ζ2) + ((ζ3)/6) log(x-ζ3) + ((ζ4)/6) log(x-ζ4) + ((ζ5)/6) log(x-ζ5)
= (1/6)( ζ0 log(x-ζ0) + ζ1 log(x-ζ1) + ζ2 log(x-ζ2) + ζ3 log(x-ζ3) + ζ4 log(x-ζ4) + ζ5 log(x-ζ5) )

x が実数のとき、
ζk log(x-ζk) = (cos(2πk/6) + i sin(2πk/6)) log(x - cos(2πk/6) - i sin(2πk/6))
= (cos(2πk/6) + i sin(2πk/6)) { log√((x - cos(2πk/6))^2 + (sin(2πk/6))^2) + i arctan(sin(2πk/6)/(x - cos(2πk/6))) }
= cos(2πk/6) log√((x - cos(2πk/6))^2 + (sin(2πk/6))^2) - sin(2πk/6) arctan(sin(2πk/6)/(x - cos(2πk/6))) + (純虚数)
= cos(πk/3) (1/2)log(x^2 - 2x cos(πk/3) + 1) - sin(πk/3) arctan(sin(πk/3)/(x - cos(πk/3))) + (純虚数)
だから、

∫1/(x^6-1)dx = (1/6)Σ[k=0…5]{ cos(πk/3) (1/2)log(x^2 - 2x cos(πk/3) + 1) - sin(πk/3) arctan(sin(πk/3)/(x - cos(πk/3))) }.

回答No.2

alice_44

∫1/(x^6-1)dx
複素部分分数分解するのが一番簡単ですが、
複素積分に慣れていなければ、
1/(x^6-1) = (1/6)/(x+1) + (1/6)/(x-1) - (1/12)(2x+1)/(x^2+x+1) - (1/4)/(x^2+x+1) + (1/12)(2x-1)/(x^2-x+1) - (1/4)/(x^2-x+1)
と実部分分数分解して、項ごとに積分すればよいです。
(2x+1)/(x^2+x+1) と (2x-1)/(x^2-x+1) の積分には、分母 = u の置換が、
1/(x^2+x+1) と 1/(x^2-x+1) の積分には、分母 = 1+u^2 の置換が、役に立ちます。

∫2x^2-3x-9/(x+1)(x^2+4x+5)dx
これは、∫2x^2-3x-(9/((x+1)(x^2+4x+5)))dx でしょうか、
それとも ∫(2x^2-3x-9)/((x+1)(x^2+4x+5))dx でしょうか？
いづれにせよ、やり方は同上で、
分母の (x^2+4x+5) の処理は、ここの部分分数を
(2x+4)/(x^2+4x+5) と 1/(x^2+4x+5) の一次結合で表して、
前者は (x^2+4x+5) = u で、後者は (x^2+4x+5) = 1+u^2 で置換積分します。

∫1/(1+2cosx)dx
これは、順当に tan(x/2) = t かなあ。

∫sinx/(1+sinx+cosx)dx
置換 tan(x/2) = t は、ある意味万能なのですが、
置換した後の計算が煩瑣になりがち。
この問題は、1+sinx+cosx = u が上手くいきます。

補足

∫(2x^2-3x-9)/((x+1)(x^2+4x+5))dxです
∫1/(1+2cosx)dxは解くことができたのですがほかがさっぱりです

一番上の問題は実部分数分解では解くことができたのですが複素部分分数分解でのやり方がわかりません
ご教授お願いします

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

ヒント

部分分数分解
部分分数分解＋平方完成
tan(x/2)＝tとおく。

これでわからなかったら補足入れてください。

補足

すみません
さっぱりわかりません