- ベストアンサー
不定積分たち
上野 尚人(@uenotakato)の回答
① (与式)= ∫(0→2) { 2x / √(x^2+4) } dx + ∫(0→2) { 1 / √(x^2 + 4) } dx と分割し、第1式の値をI , 第2式の値をJ とする。 I について x^2 + 4 = t と置換する。微分して 2x dx = dt また x=0 のとき t=4 , x=2 のとき t=8 なので I = ∫(0→2) { 2x dx / √(x^2 + 4) } = ∫(4→8) (dt / √t) = ∫(4→8) t^(-1/2) dt = [ 2 t^(1/2) ] (4→8) = 2 (2√2 - 2) = 4√2 - 4 Jについて x = u - (1/u) と置換する。微分して dx = { 1 + (1/u^2) } du また x=0 に対して u=1 , x=2 に対して u=1+√2 ととれる。 x^2 + 4 = { u^2 - 2 + (1/u^2) } + 4 = u + (1/u) u > 0 のとき u + (1/u) > 0 なので √(x^2 + 4) = u + (1/u) となる。よって J = ∫(0→2) { 1 / √(x^2 + 4) } dx = ∫(1→1+√2) [ 1 / { u + (1/u) } ] { 1 + (1/u^2) } du = ∫(1→1+√2) { u / (u^2 + 1) } { (u^2 + 1) / u^2 } du = ∫(1→1+√2) (1/u) du = [ log | u | ] (1→1+√2) = log (1+√2) - log 1 = log (1+√2) よって求める値は 4√2 - 4 + log (1+√2) …答 ② まず、被積分関数の分母の有理化を行う。 x / { √(x^2 + 1) + x } = { x (√(x^2 + 1) - x) } / { (√(x^2 + 1) + x) (√(x^2 + 1) - x) } = { x (√(x^2 + 1) - x) } / { (x^2 + 1) - x^2 } = x√(x^2 + 1) - x^2 よって (与式)= ∫(0→√3) x√(x^2 + 1) dx - ∫(0→√3) x^2 dx …(*) (*) の第1項をI , 第2項をJ とおく。 I について x^2 + 1 = t と置換する。微分して 2x dx = dt また x=0 のとき t=1 , x=√3 のとき t=4 なので (*) = ∫(0→√3) (1/2) √(x^2 + 1) * 2x dx = ∫(1→4) (1/2) √t dt = [ (1/2) (2/3) t^(3/2) ] (1→4) = (1/3) * 8 - (1/3) * 1 = 7/3 J = [ (1/3) x^3 ] (0→√3) = (1/3) 3√3 - 0 = √3 以上より求める値は (7/3) + √3 …答 ③ 積分区間が0からπとなっていますが、x = π のときは cos x = -1 となり (分母)= (cos x)^2 + 4 cos x + 3 の値が0になってしまいます。問題文のミスではないでしょうか。 ※たぶん cos x = t と置換したあと部分分数分解に持ち込ませる問題だと推測されます
関連するQ&A
- 不定積分 部分積分
∫(3x+2)sinx dx =∫{(sinx)×(3x+2)} dx =(-cosx)×(3x+2)-∫{(-cosx)×3}dx =-(3x+2)cosx-3∫-cosx dx =-(3x+2)cosx+3∫cosx dx =-(3x+2)cosx+3sinx or =(3x+2)(-cosx)-∫(3x+2)'(-cosx)dx =-(3x+2)cosx+3∫cosx dx =-(3x+2)cosx+3sinx この2つのやり方どちらで部分積分で解答した方がいいんですか? また、他の部分積分の時にはどちらのやりかたでやったほうがいいですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分
∫cos^2x/(1+sinx) dx という問題があるのですが模範解答は分子を1-sin^2と変形して 約分をし簡単な形に持っていく形式を取っています。私もこれは理解できます。 答え、x+cosx+C 私は違うやり方でやってみたのですが答えが合わずしかも納得がいかないという 悪循環になってしまいました。 下に私のやった方法を書くので間違いを指摘していただければと思います。 ∫cos^2x/(1+sinx) dx sinx=tとおくと cosxdx=dtだから与式は ∫cosx/(1+sinx) dt =∫t'/(1+t) dt =∫(t+1)'/(1+t) dt =log|t+1|+C =log(sin+1)+C お願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分問題
A=∫[0→π/2](sin^3x)/(sinx+cosx)dx B=∫[0→π/2](cos^3x)/(sinx+cosx)dx (1)A+Bを計算せよ。 (2)AとBが等しいことを示せ。 (3)Aの値を求めよ。 (1)A+B=∫[0→π/2]{(sin^3x)+(cos^3x)}/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2](1+sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2][{1/(sinx+cosx)}+1]dx =∫[0→π/2][{1/√2sin(x+π/4)}+1]dx =[0→π/2][1/{√2log tan(x/2-π/8)}+1]dx =1/{√2log tan(π/8)} + π/2 - 1/{√2log tan(-π/8)} =(2/√2)log tan(π/8) + π/2 になったのですがこのような方法でよろしいのでしょうか? (2)に関しては、どのようにして行ってよいのかわかりません。 (3)もどうようにわかりません。 教えて頂けないでしょうか? よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分同士の等式の証明です。
積分同士の等式の証明です。 ∫[0 π/2]sin^3x/(sinx+cosx)dx=∫[0 π/2]cos^3x/(sinx+cosx)dxの証明です。 解けましたが、無駄に長大になっている気がします。 スマートな方法を教えてください。 ∫[0 π/2]sin^3x/(sinx+cosx)dx-∫[0 π/2]cos^3x/(sinx+cosx)dx=0 a=sinx b=cosx (a^3-b^3)/(a+b)の分母をなんとかします。 {(a+b)^2(a-b)-ab(a-b)}/(a+b) ={(a+b)^2(a-b)(1-ab)}/(a+b) =(a+b)(a-b)(1-ab) =(a^2-b^2)(1-ab) =a^2-b^2-a^3b+ab^3 何とか微分できそうです。 ∫[0 π/2]sin^2x dx-∫[0 π/2]cos^2x dx-∫[0 π/2]sin^3x*cosx dx-∫[0 π/2]sinx*cos^3x dx = (π/4)-(π/4)-(1/4)+(1/4)=0∴等式である。 たぶん解けていると思いますが、もっと良いやり方を教えてください。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分がわかりません
いくつかわからないので教えていただきたいです。∫は省略します。 まずlog(1+√x)dxですが、t=√xと置換してdx=2tdtとなり 2tlog(1+t)dtとなります。しかしここからのやり方がわかりません。 次にcos^3xsin^2xdxですが、部分積分を使ってやってみたのですがどうもうまくいきません・・・しかし部分積分を使うのは間違いなさそうなんです。 次に(1/(x^3-x))dxですが、この式は1/x(1-x)(1+x)に変形できます。 分母が2つの掛け算ならば部分分数にできるのですが3つの掛け算なのでどうしたらいいのかわかりません。 次に(x/(x^3+1))dxですが、この式をx/(x+1)(x^2-x+1)と変形したあとのやり方がわかりません。 最後に、これが一番聞きたいことなんですが (1/cosx)dxの積分です。 分子分母にcosxを掛けてcosx/cos^2xとします。 sinx=tとおくと、dx=dt/cosxとなり、最初の式はdt/(1-t^2)になります。 部分分数にして1/2∫(1/(1+t)+1/(1-t))dtになります。 よって1/2(log|1+t|-log|1-t|)=1/2log|(1+sinx)/(1-sinx)|になりますよね?? でも、解答にはlog|(1+sinx)/cosx|って書いてあるんです。 どこが間違ってるのかわかりません。 以上長いですが教えていただけたら幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
3番ですが積分区間は0からπ/3の間違いでした。 cosをtとおいて、置換ですかね? いつも丁寧で分かりやすい説明助かっております。