1/√(x^2+a^2) の積分について

質問

かなり考えたのですが1/√(x^2+a^2)の積分が
うまくいかないので質問させてください。

参考書に載っているのは1/√(x^2+a^2)の原始関数は(xで積分)はlog｜x+√(x^2+a)｜ともうほぼ公式的に出ています。たしかに長い計算になるので覚えてしまったほうがよいうと思うのですが覚えるのには自分で導き出して納得してから覚えたいので自力で導き出そうと思ったのですが行き詰まってしまいました。私は以下のようにしました。

紛らわしいと思いますのでsin^2θ等は(sinθ)^2と記述しました。また1/√(x^2+a^2)でaでやるといろいろと読む方も疲れると思いますので「1」として計算していきます。よって計算結果がlog｜x+√(x^2+1)｜となるように目指します。

1/√(x^2+1)
先ずx=tanθとおくと
∫cosθ・(1/couθ)^2 dθ
=∫1/cosθ dθ =∫cosθ/(cosθ)^2 dθ
=∫cosθ/{1-(sinθ)^2} dθ

さらにsinθ=tとおくとdt/dθ = cosθ
より
∫1/(1-t^2) dt
=1/2∫1/(1-t) + 1/(1+t) dt
={log｜(1+t)/(1-t)｜}^1/2
=log｜√(1+t)/√(1-t)｜

ここで打ち止めになってしまいました。t,θを元に戻しても公式のような形にはなりませんでした。

どなたかご存知のかたご教授ください。よろしくお願い致します。

回答No.3

postro · ベストアンサー

途中からです
∫1/(1-t^2) dt
=1/2∫{1/(1-t) + 1/(1+t)} dt
=(1/2)log｜(1+t)/(1-t)｜+C
=(1/2)log{(1+sinθ)/(1-sinθ)} +C
=(1/2)log{(1+sinθ)^2/(1-(sinθ)^2)} +C
=(1/2)log{(1+sinθ)^2/(cosθ)^2} +C
=log｜(1+sinθ)/cosθ｜ +C
=log｜tanθ +1/cosθ｜ +C
=log｜tanθ +√{(tanθ)^2+1)}｜ +C
=log{x +√(x^2+1)} +C

ただ、1/√(x^2+1) の積分は、√(x^2+1)　+ ｘ = t とおいて進めた方がわかりやすいかもしれません。
{1+ x/√(x^2+1)}dx=dt
{t/√(x^2+1)}dx=dt
{1/√(x^2+1)}dx=(1/t)dt
より
1/√(x^2+1) の積分は1/tの積分 log｜t｜+C=log｜√(x^2+1)　+ ｘ ｜+C です。

回答No.2

sunasearch

x+√(x^2+1)のｘにtanθを代入すると、
tanθ+√（１＋tanθ-2）
=sinθ/cosθ + 1/cosθ = (1+sinθ)/cosθ

また、
√(1+t)/√(1-t)のtにsinθを代入すると、
√(1+sinθ)/√(1-sinθ)

この分母分子に、√(1+sinθ)を掛け算すると、
(1+sinθ)/cosθ

となり、一致します。

回答No.1

dyna43

恐らく、最初で間違ってませんか？

x=tanθとおくと、
dx=-dθ/cos^2より、
（与式）=∫1/(√((tanθ)^2+1))(-dθ/cos^2)
=∫(1/(√((sin^2+cos^2)/cos^2) (-dθ/cos^2))
=∫(cosθ)(-dθ/cos^2)
=-∫(1/cosθ)dθ