次の積分について教えてください

質問

(cost)^4の0から2πまでの積分なのですが、解き方教えてください。
倍角の公式などを使って、
(1/4)∫[0-2π](1+2cos2t+(1+cos4t)/2)dtまではたどり着けました。
ただこの後どうすればよいかわかりません。
このあとの計算教えてください。
積分初心者でもわかるような感じでかなり詳しく教えてください。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

>(1/4)∫[0-2π](1+2cos2t+(1+cos4t)/2)dt

cos2t と cos4t の周期性から、それらの積分はいずれも 0 になります。よって
(与式) = (1/4)∫[0→2π](3/2)dt
　　　　= (1/4)(3/2)[t][0→2π]
　　　　= (1/4)(3/2)(2π - 0)
　　　　= (3/4)π。

全部計算するなら、
(与式) = (1/4)∫[0→2π]{3/2 + 2 cos(2t) + (1/2) cos(4t)}dt
　　　　= (1/4)[(3/2) t + 2 sin(2t) / 2 + (1/2) sin(4t) /4][0→2π]
　　　　= (1/4)[{(3/2) 2π + 0 + 0} - {0 + 0 + 0}]
　　　　= (3/4)π。

回答No.3

noname#171582

グラフです。

回答No.2

info22_

cos(2t)の周期はπ、cos(4t)の周期はπ/2です。
これらの1周期の積分はゼロです。積分区間[0-2π]は、それぞれの1周期の2倍、4倍なので個の区間での積分もゼロになります。
したがって
(1/4)∫[0-2π](1+2cos2t+(1+cos4t)/2)dt
=(1/4)∫[0-2π](1+1/2)dt
=(1/4)(3/2)∫[0-2π] 1dt
定数1の定積分位できるでしょう？