積分について（高校)その２

質問

ある問題の解説中に、
t^2≧0,1-cos2πt≧0 より t^2(1-cos2πt)≧0 がいえるので、
∫(0≦t≦1)t^2(1-cos2πt)dt＞0
と、あります。

これは、（この積分範囲における）正の関数を積分したとき正の値が出る、という理由からなのでしょうか？
基本的なこととは思いますが、積分結果が負になることもありますよね？　解説をお願いします。

回答No.4

Calvar

揚げ足をとるようで申し訳ございませんが、ANo.#3の
ご回答のなかで、裏と対偶の命題が間違っています。
まず、対偶は
「積分の値が正でないならば、積分された関数は
『常に正の値を取る関数』ではない。」
であり、いいかえると
「積分の値が０以下であるとき、被積分関数は正の
値だけをとるものではない。」
となり、さらに言い換えると
「積分の値が０以下であるとき、被積分関数は０
以下の値を必ずとる。」
重要なのは、この命題の結論の部分で、被積分関数
は正の値をとることもありえるとうことです。
「正の値はとるかも知れないし、とらないかもしれな
い。一方、０以下の値は必ずとる。」ということです。

裏も同様に考えて下さい。

お礼

回答ありがとうございます。なるほどです。こちらの分野の勉強になりました。

回答No.3

ssagara

＞「（この積分範囲における）正の関数を積分したとき正の値が出る」の逆は

命題
　常に正の関数を積分→正の値が出る

逆
　正の値が出る→常に正の関数を積分

裏
　常に負の関数を積分→負の値が出る

対偶
　負の値が出る→常に負の関数を積分

A.2さんのおっしゃるとおり、逆も裏も不確定です。

お礼

この場合、命題が真だから、対偶も真と考えて、間接的に（というのか…）対偶の内容が合っていると考えるということなのでしょうか。回答ありがとうございました。

回答No.2

oyaoya65

＞「（この積分範囲における）正の関数を積分したとき正の値が出る」の逆はいえないのですか？

逆は常に正しいとはいえませんね。
y=f(x)=(x^2) -1
は明らかに
|x|≦2の範囲で正の関数といえませんね。
しかし、この積分範囲で積分すると
∫[-2->2]{(x^2)-1}＝4/3＞0
ですね。
積分は正、しかし積分区間{-2,2}でf(x)＞0が常に成り立っているとはいませんね。

お礼

そうなんですよね。自分がやったはずの問題（積分結果が負のもの）がどういうものだったか思い出せれば何かヒントになるかもしれないけど、どちらにしろそういうことよりも関数が負のときは積分結果が「負のこともある」くらいの認識を持って問題を解く方が試験としてはいいかもしれないです。いずれにしろ正の関数のときは証明の理由としても使えるということで。ありがとうございました。

回答No.1

oyaoya65

＞これは、（この積分範囲における）正の関数を積分したとき正の値が出る、という理由からなのでしょうか？

解説の理由で正しいです。正の値が出ます。
（質問の積分=(1/3）-{1/(2π^2)}≒0.28267＞0)

＞積分結果が負になることもありますよね？
被積分関数が非負の関数なら、ありません。

ただし、積分値が単調増加する方向に積分すること。
（積分の上限と下限を入れ替えれば、積分結果の符号は逆になることは自明ですから。）

お礼

ご回答ありがとうございます。ひとつ目の質問は大丈夫ですね。ふたつ目がわからないのですが、「（この積分範囲における）正の関数を積分したとき正の値が出る」の逆はいえないのですか？　でも、自分で考えてみても、それがどんなときなのかわかりません。以前、計算問題でマイナスがついたことがあった覚えがあるのですが、具体的に思い出せません。