偶関数と奇関数の積分

質問

こんにちは。複素フーリエ級数展開の問題で出てきた積分について、参考書に書いてあった説明がよくわからなかったので質問させていただきます。

問題となる波形は
f(t)=t (0≦t≦2π)　T（周期）＝2π
というものです。つまり波形はノコギリのような形をしています。

ここでの積分について参考書が説明している以下の内容がわかりません。

「t×exp(-jkt)dtを０から2πで積分するとき、奇関数tと偶関数cos(kt)の積は奇関数であり、その一周期の積分はゼロとなるのでt×(-j)sin(kt)を０から２πまで積分した値のみを考えればよい。」

自分が疑問に思ったのは「偶関数でも一周期積分したら０になるはず」という点です。
というのも、同じ偶関数でもcosktを一周期積分したらその値は０になりますよね。しかし「t×（-j）sin(kt)」
を一周期積分した値はちゃんと出てきます。「t×(-j)sin(kt)」と「cos(kt)」は同じ偶関数でも意味合いが違うのでしょうか。
また、奇関数は偶関数のように波形に関係なく一周期の積分はすべてゼロになると解釈してよろしいのでしょうか。

このあたりを理解できているとフーリエ級数展開の式を楽にすることができるので、非常に助かります。回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

「０から2πで積分するとき」がオカシイんでしょう。そう書きながら、
頭の中では-πからπまで積分することを考えているんだろうと思います。
「０から2π」では、偶関数とか奇関数とか関係ありません。
f(t) は周期 2π の周期関数だとしても、t は周期関数ではないから、
積分区間を勝手にずらしてイイ訳がない。
f(t) = t (0≦t≦2π)　(周期 2π を持つ) と
f(t) = t (-π≦t≦π)　(周期 2π を持つ) は、異なる関数です。
グラフを描いて比較すれば、解ることです。

その愚かな参考書の記述と、貴方の質問点は、直接関係ないように見えます。
ひとつの周期偶関数 cos(kt) が一周忌で積分すると 0 になるからといって、
すべての周期偶関数がそうなるとは限りません。飛躍しすぎです。
例えば、定数関数 1 も周期偶関数ですが、積分して 0 になりますか？

お礼

冷静に考えればおっしゃる通り０から２πじゃ偶関数とか奇関数は関係ないですね。
cosθが一周期でゼロになるのは偶関数だからじゃなくて、周期関数だからですものね、その辺りがうまく整理できていませんでした。

回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

その「参考書」の説明はおかしい. そもそも t cos(kt) は周期関数じゃないんだから, 「一周期の積分」というものが意味を持たない. ここの「一周期」を「cos の 1周期」と解釈しても, 今の場合は「たまたま」でしかない.

この「参考書」を書いた人間は, f(t)=t^3 に対しても同じ説明をするのだろうか?

お礼

たまたまなんですね、それを聞いてすっきりしました。

ありがとうございました。