積分について

質問

フーリエ級数展開の積分について質問があります
まずf(x)=|x|という式を[-T/2,T/2]でフーリエ級数展開する問題で
A0を求めた後にAkを求めようとして
Ak=1/T{∫[-T/2,0](-t)*coskωtdt+∫[0,T/2]t*cosωktdt}
という式を立てました。そして
Ak=1/T{(1/ω)[-tsinωkt][-T/2,0]+(1/ωk)∫[-T/2,0]sinωktdt+(1/ωk) [tsinωkt][0,T/2]-(1/ωk)∫[0,T/2]sinωktdt}
　=1/T[(1/ωｋ){T/2sinω(-kT/2)}+(1/ω^2k^2){cosω(-kT/2)-1}+(1/ωk){T/2sinω(kT/2)}-(1/ω^2k^2){cosω(kT/2)-1}]
という感じになったんですがここからさきの進め方がわかりません
どうやって整理していけばいいのかが分からないです
かなり見難い式表示とは思いますがどうぞよろしくお願いします

回答No.1

joggingman · ベストアンサー

文字がばらばらなので、統一しますと、
f(x)=|x|で、区間[-T/2、+T/2]のフーリエ級数展開は、
f(x)～a(0)/2＋Σ[k=1,∞] a(k)*cos(2kπx/T)+b(k)*sin(2kπx/T)
a(k)=(2/T)∫[-T/2→+T/2] f(x)*cos(2kπx/T)dx
b(k)=(2/T)∫[-T/2→+T/2] f(x)*sin(2kπx/T)dx
です。
とすると、偶関数だから、b(k)=0となり、a(k)は積分区間を[0→+T/2]
として２倍すればよいので、
a(0)=(4/T)∫[0→T/2]x dx=(4/T)(1/2)(T^2/4)=(T/2)
a(k)=(4/T)∫[0→T/2]x*cos(2kπx/T)dx
=(4/T)[x*(T/2kπ)sin(2kπx/T)]-(4/T)∫[0→T/2](T/2kπ)sin(2kπx/T)dx
=(4/T)(T/2kπ)(T/2kπ)[cos(2kπx/T)]_0→T/2
={T/(k^2*π^2)}{cos(kπ)-1}
=０：ｋが偶数
　-2T/(k^2*π^2)：ｋが奇数
よって、
f(x)～T/4 -(2T/π^2){cos(2πx/T)+(1/9)cos(6πx/T)+(1/25)cos(10πx/T)+…}

お礼

すごいです！！めちゃくちゃ分かりやすくて何とか自分にも解くことができました
ωと表記しないで初めから2π/Tと表記したほうがよかったんですかね？
あとf(x)=|x|ではなくf(x)=|t|の間違いでした、すいませんでしたm(__)m