原始関数を求めよという問題で答えが合わなくて困っています

質問

"次の関数の原始関数を求めよ"という問題なのですが、答えが一致しなくて困っています。
計算ソフトを使ってみたりしましたが、よく分かりませんでした。
違っている箇所の指摘をおねがいします。
もしかすると積分定数の違いかもしれません。

教科書の解：
(1) x+cos[x]/(sin[x]+1)

(2) (4/√3)*Tan^(-1)[tan[x/2]/√3]+log[2+cos[x]]

自分の解：
(1) sin[x]/(sin[x]+1)　…＊

tan[x/2]=t とおくと dx=2cos^2[x/2]dt

∴∫＊ dx=∫(2t/(1+t^2) )/( (2t/(1+t^2) )+1 )*2/(t^2+1) dt

=∫4t/(1+t)^2*(1+t^2) dt

=∫-2/(1+t)^2 +2/(1+t^2) dt

=2/(1+t) +2Tan^(-1)[t]

=2/(1+tan[x/2])+x //

(2) (2-sin[x])/(2+cos[x])…＊

tan[x/2]=t とおくと dx=2cos^2[x/2]dt

∴∫＊ dx=∫{ (2-2t/(1+t^2)) / (2+(1-t^2)/(t^2+1)) }*2/(t^2+1)・dt

=∫4*(t^2-t+1)/(t^2+3)(t^2+1)dt

=∫2*{ t/(t^2+3)+2/(t^2+3)-1/(t^2+1) }・dt

=∫2{ (1/2)*(t^2+3)'/(t^2+3)+(2/3)*(1/(t/√3)^2+1)-1/(t^2+1) }・dt

=log[t^2+3]+(4/√3)*Tan^(-1)[t/√3]-2tan[t]

=log[tan^2[x/2]+3]+(4/√3)*Tan^(-1)[tan[x/2]/√3]-x //

よろしくおねがいします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

(1)については、教科書の解でもあなたの解でも微分してみるとsin[x]/(sin[x]+1)に一致するので定数項の違いでしょう。
(2/(1+tan[x/2]))'=(cos[x]/(sin[x]+1))'を示します。
　　2/(1+tan[x/2]) = 2cos[x/2]/(sin[x/2]+cos[x/2])
右辺の分子分母に(sin[x/2]+cos[x/2])を掛ける
　　　　　　　　　 = 2cos[x/2](sin[x/2]+cos[x/2])/((sin[x/2]+cos[x/2])^2)
　　　　　　　　　 = (2sin[x/2]cos[x/2]+2(cos[x/2])^2)/((sin[x/2])^2+(cos[x/2])^2+2sin[x/2]cos[x/2])
　　　　　　　　　 = (sin[x]+1+cos[x])/(1+sin[x])
　　　　　　　　　 = 1 +cos[x]/(1+sin[x])

(2)については部分分数展開が間違えているようです。
正しくは、
　　4*(t^2-t+1)/((t^2+3)(t^2+1)) = 2*((t+2)/(3+t^2) -t/(1+t^2))
です。
この展開で計算を進めれば教科書の解答と一致します。

お礼

ありがとうございます。
無事解答にたどり着くことができました。

回答No.1

Tacosan

(1) は積分定数の違いみたいです. あなたの解の方が 1 だけ大きいのかな. 1 を引いてからほげると教科書の解が得られると思います.
(2) の方は, 部分分数に分解するところがおかしい感じ. 分解した結果をまとめると分子に t^3 が出てくるような.

お礼

ありがとうございます。