原始関数の問題の解き方

質問

以下のように解いたのですが、解答に自信がありません。
途中の式など、間違っていればご指摘のほどよろしくお願いします。

次の原始関数を求めよ。
(1)
∫(x+1)^5 dx

x+1=tとおく。
(dt/dx)=1より、dx=dt
よって、∫(x+1)^5 dx=∫t^5 dt
=(1/6)t^6+C
=(1/6)(x+1)^6+C (Cは積分定数)

(2)
∫e^(5x) dx

5x=tとおく
(dt/dx)=5より、dx=(dt/5)
=∫e^(t)(dt/5)+C
=(1/5)e^(5x)+C (Cは積分定数)

(3)
∫x/(x^2+1)^2 dx

=∫{(x+1)-1}/(x^2+1)^2 dx
=(1/2)∫{(2x+2)-2}/(x^2+1)^2 dx
=(1/2)∫(x^2+1)'/(x^2+1)^2 dx
=(1/2)log|(x^2+1)^2|+C (Cは積分定数)

(4)
∫1/√(23-x^2) dx

公式 ∫1/√(a^2-x^2) dx=sin^(-1) x/√a+C (a>0)より
=sin^(-1) x/√23 +C (Cは積分定数)

ご指導、よろしくお願いします。

回答No.3

noname#227064 · ベストアンサー

> x^2+1=tとおくと、(dt/dx)=2x、よってdx=(dt/2x)
> 与式=∫x/t^2 dx = ∫x/t^2 (dt/2x)
> = (1/2)∫t^(-2)dt = (1/2)・(-1)・t^(-1)+C
> = (-1/2)・(1/t)+C = -1/(2(x^2+1))+C (Cは積分定数)

これでOKです。

お礼

ありがとうございました。
助かりました。

回答No.2

pascal3141

(4)はあっています。

お礼

検算していただき、ありがとうございます。
あってるとのこと、安心しました。

回答No.1

noname#227064

得られた答えを微分してみましょう。
正しければ被積分関数と同じになります。

(1)
d{(1/6)(x+1)^6+C}/dx
= 1/6*6*(x+1)^(6-1) = (x+1)^5

(2)
d{(1/5)e^(5x)+C}/dx
= 1/5*e^(5x)*5 = e^(5x)

(3)
d{(1/2)log|(x^2+1)^2|+C}
= d{log(x^2+1)+C}/dx
= 1/(x^2+1)*2x
= 2x/(x^2+1)

(4)
d{sin^(-1) x/√23 +C}/dx
= わからないのでパス

少なくとも(3)の答えは間違っているようです。

お礼

ご指摘ありがとうございます。

>得られた答えを微分してみましょう。
そうでした。基本的なことを忘れていました。
ご指摘ありがとうございました。

>少なくとも(3)の答えは間違っているようです。
これでどうでしょう？
微分して、元に戻ると思うのですが。。。

x^2+1=tとおくと、(dt/dx)=2x、よってdx=(dt/2x)
与式=∫x/t^2 dx = ∫x/t^2 (dt/2x)
= (1/2)∫t^(-2)dt = (1/2)・(-1)・t^(-1)+C
= (-1/2)・(1/t)+C = -1/(2(x^2+1))+C (Cは積分定数)