解析学の問題

質問

次の一般解を求めよ。

d**2x/dt**2 - 4dx/dt + 6x = 0

こういった問題が宿題に出されました。
そこで積分をして

∫(d**2x/dt**2)dt - ∫(4dx/dt)dt + ∫(6x)dt = C
↓
dx/dt - 4x + 6tx = Ct
↓さらに積分して
x - 4tx + 3(t**2)x = 1/2*(Ct**2)

Cは全ての定数なので、０でもいい。
よって
x - 4tx + 3(t**2)x = 0

ここまで考えてみたのですが、あっている自信がほとんどありません。
よろしければどうすればいいか教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#21219 · ベストアンサー

まず、xはtの関数ですよね？でしたら
xを積分するr時xtではなく∫x(t)dtとしなければ
なりません。また、Cは一回積分したときにでてきたものだから、dx/dt - 4x + 6tx = Ct
の右辺はCになります。

これは、いきなり積分するより解を仮定してといたほうが楽です。x(t)=e^λtとおいてください。^は累乗です。式に代入します。
λ^2e^λt-4λe^λt＋6e^λt=0です。
(λ^2-4λ＋6)e^λt=0
よって、λ=2±√2iですから解は
e^(2＋√2i)t,e^(2-√2i)tの二つです。
これを重ね合わせたものが一般解です。
x(t)=Ce^(2＋√2i)t＋De^(2-√2i)t
=e^2t{Ce^√2it＋De^-√2it)
e^ix=cosx＋isinxを使い
　x(t)=e^2t{(C＋D)cos√2t＋i(C-D)sin√2t)
≡e^2t{Acos√2t＋Bsin√2t)

お礼

試験に追い込まれ、遅くなって申し訳ありませんでした。
sky_fireさんに教えていただいたように答案を提出してきました！
本当にありがとうございました！！

回答No.1

Tacosan

この場合 x は t の関数なんだから, 「x を t で積分して tx」はありえないですね.
素直に微分方程式の教科書を開いた方がよろしいかと.