解析学の問題：一般解を求める方法
- 解析学の問題で与えられた微分方程式の一般解を求める方法について説明します。
- 与えられた微分方程式を積分することで、一般解を求めることができます。
- 具体的な計算手順を示しながら、問題の解法を解説します。
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解析学の問題
次の一般解を求めよ。 d**2x/dt**2 - 4dx/dt + 6x = 0 こういった問題が宿題に出されました。 そこで積分をして ∫(d**2x/dt**2)dt - ∫(4dx/dt)dt + ∫(6x)dt = C ↓ dx/dt - 4x + 6tx = Ct ↓さらに積分して x - 4tx + 3(t**2)x = 1/2*(Ct**2) Cは全ての定数なので、０でもいい。 よって x - 4tx + 3(t**2)x = 0 ここまで考えてみたのですが、あっている自信がほとんどありません。 よろしければどうすればいいか教えていただきたいです。 よろしくお願いします。
- yuuki0117
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まず、xはtの関数ですよね？でしたら xを積分するr時xtではなく∫x(t)dtとしなければ なりません。また、Cは一回積分したときにでてきたものだから、dx/dt - 4x + 6tx = Ct の右辺はCになります。 これは、いきなり積分するより解を仮定してといたほうが楽です。x(t)=e^λtとおいてください。^は累乗です。式に代入します。 λ^2e^λt-4λe^λt＋6e^λt=0です。 (λ^2-4λ＋6)e^λt=0 よって、λ=2±√2iですから解は e^(2＋√2i)t,e^(2-√2i)tの二つです。 これを重ね合わせたものが一般解です。 x(t)=Ce^(2＋√2i)t＋De^(2-√2i)t =e^2t{Ce^√2it＋De^-√2it) e^ix=cosx＋isinxを使い x(t)=e^2t{(C＋D)cos√2t＋i(C-D)sin√2t) ≡e^2t{Acos√2t＋Bsin√2t)
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- Tacosan
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この場合 x は t の関数なんだから, 「x を t で積分して tx」はありえないですね. 素直に微分方程式の教科書を開いた方がよろしいかと.
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