支配方程式について

質問

以下の問題を解くことができません。解き方がわかる方、教えてくださると幸いです。
(相図については大まかなイメージを教えてくださるだけでもありがたいです。)

※問題文に不備、不明瞭な点があったら、ご指摘ください。

個体数をy(t)とすると、支配方程式は次のように与えられる。
dy/dt=(a-∫[0~t]y(t)dt)y
ここで、累積個体数をx(t)とおくと、
x(t)= ∫[0~t]y(t)dt
すなわち、
y(t)=dx/dt
したがって、もとの方程式は、
(d/dt)*(dx/dt)=(a-x)*dx/dt=a*(dx/dt)-x(dx/dt)
となるが、
(d/dt)*{(x^2)/2}=x(dx/dt)
に注意すれば方程式ではtで積分できる。
dx/dt=ax-(x^2)/2+C ※Cは積分定数
初期個数値をy0とおけばx(0)=0なので、上式のC=y0と知れる。よって、
dx/dt=y0+ax-(x^2)/2
すなわち、
y=y0+ax-(x^2)/2

下記の4問が問題です。

(1) dy/dx=0を与えると、そのときのyの値を求めよ。

(2) y=0となるときのxの値を求めよ。ただし、x>0のものを選べ。

(3) 以上の情報を頼りに、横軸にx、縦軸にyをとって相図を描け。

(4)相図を解釈せよ。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

もちろん、出てくる関数は微分可能とします。
最後に解 y(x) が書いてあります。
1) は２次関数の頂点をきいています。
2) ２次方程式を解いてください。
3) y=(-1/2)*(x - a)^2 + y0 + a^2/2.
のグラフ(x>0)を書いてください。