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減衰振動

xは時間tの関数:x(t)であるとする。初期条件をx(0)=10、dx/dt(0)=0とするとき、次の微分方程式の一般解を求めよ。どれが減衰振動で、どれが臨界減衰の解に対応するか。 1、d^2x/dt^2+2dx/dt+4x=0 2、d^2x/dt^2+5dx/dt+4x=0 3、d^2x/dt^2+4dx/dt+4x=0 解き方が分かりません。 教えてください。

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  • 回答No.2

このような微分方程式を「定数係数線形微分方程式」といいます。 解き方は、 http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/14bibnh/103deq.html を見て頂くとして、 一般解は、x=exp(at+b)になります。a、bは 特性方程式から決まる定数です。 で、aが複素数なら振動が現れます。 複素数aを、mi+nと表すと、n=0は、無限に続く単振動 n>0 は、拡大振動 n<0 は、減衰振動 で、aが実数(つまり、m=0)なら振動は現れません。 m=0で n<0 の場合を、臨界減衰といいます。

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  • 回答No.1

一般に (★)dx^2/dt^2+adx/dt+bx=0 (a,b定数) の解はx=e^{λt}の形の解を仮定して (☆)λ^2+aλ+b=0 を得ます.これを特性方程式といいます.2階常微分方程式の基本解は2つでこれらの一次結合で一般解を構成します.初期条件を2つ与えれば解は決まります. ☆が異なる二つの解をもてば一次独立な解は2つ得られるので一般解が得られます.この2つの解の実部が負であれば減衰解が得られます.☆が重解をもつとき,それをkとすればa=-2k,b=k^2でx=e^{kt}と独立な解は x=te^{kt} です.なぜなら, dx/dt=e^{kt}+kte^{kt}=e^{kt}+kx dx^2/dt^2=ke^{kt}+kdx/dt=2ke^{kt}+k^2x ∴dx^2/dt^2+adx/dt+bx =2ke^{kt}+k^2x-2ke^{kt}-2k^2x+k^2x =0 となるからです.またこのときte^{kt}が減衰するためにはやはりkが負であればよいことになります. まとめると,★の解が減衰するためには☆の解の実部が負になることです.臨界減衰とは☆が負の重解をもつときでしょうか. なおλ=-s±iωのときオイラーの公式e^{iθ}=cosθ+isinθを使うと e^{λt}=e^{-st}e^{iωt}=e^{-st}cosωt±ie^{-st}sinωt となるので基本解はe^{-st}cosωt,e^{-st}sinωtととってもよいです. したがって,D=a^2-4bとおくと1,2,3の各場合について 1.D/4=1-4=-3<0 λ=-1±√3i 一般解は x=Ae^{-t}cos√3t+Be^{-t}sin√3t dx/dt=A(-e^{-t}cos√3t-e^{-t}√3sin√3t)+B(-e^{-t}sin√3t+e^{-t}√3cos√3t) x(0)=A=10 dx(0)/dt=A(-1)+B=0 ∴A=B=10 x(t)=10e^{-t}(cos√3t+sin√3t)=10√2e^{-t}cos(√3t-π/4):減衰振動解 2.D=25-16=9>0 λ=(-5±3i)/2 一般解は x=C_1e^{(-5+3i)t/2}+C_2e^{(-5-3i)t/2} dx/dt=C_1{(-5+3i)/2}e^{(-5+3i)t/2}+C_2{(-5-3i)/2}e^{(-5-3i)t/2} x(0)=C_1+C_2=10 dx(0)/dt=C_1{(-5+3i)/2}+C_2{(-5-3i)/2}=(C_1+C_2)(-5/2)+(3i/2)(C_1-C_2)=0 ∴3i(C_1-C_2)=5(C_1+C_2)=50,C_1-C_2=-i50/3 C_1=5-25i/3 C_2=5+25i/3 x=(5/3)e^{-5t/2}[(3-5i)e^{3it/2}+(3+5i)e^{-3it/2}] =(5/3)e^{-5t/2}[6cos(3t/2)+10sin(3t/2)} x(t)=(10/3)e^{-5t/2}{3cos(3t/2)+5sin(3t/2)}:減衰振動解 3.D/4=4-4=0 λ=-2 一般解は x=Ae^{-2t}+Bte^{-2t} dx/dt=-2Ae^{-2t}+Be^{-2t}-2Bte^{-2t} x(0)=A=10 dx(0)/dt=-2A+B=0∴B=2A=20 x(t)=10e^{-2t}+20te^{-2t}:減衰解(臨界?減衰解)

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