減衰振動の計算

質問

m d^2x/dt^2 = -mω^2x + 2mγdx/dt
上記のように速さに比例する抵抗力があり、γは定数である以下の問いに答えよ

問1　式に間違いがある直しなさい

m d^2x/dt^2 = -mw^2x - 2mγdx/dt

問2 一般解を求める為、x=e^ptとおいてpをωとγを用いて表せ
mp^2e^pt = ^mw^2e^pt - 2mγpe^pt
から
p^2+2γp+ω^2=0
解の公式より
P = -γ±√r^2-ω^2

までは理解して自力で求められました。あってるかはわかりませんが。
その後に

問題A:γ^2<ω^2なら周期的な特殊な振動を行う。この時の一般解を記し、更に名称を示せ。
問題B: Aでの振動の周期Tをωとγを用いて示せ。

というものがどういう風に計算していいかもわかりません。

答えだけ知っていてこれは減衰振動であって最終的にT=2π/√ω^2＋γ^2になるらしいのですがわかりません。
丁寧な解法と解説お願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

要するに減衰振動

γ^2<ω^2からΩ=√(ω^2-γ^2)とおくと

p=-γ±iΩ（iは虚数単位)

x=ae^(-γ+iΩ)t+be^(-γ-iΩ)t=e^(-γt)(Acos(Ωt)+Bsin(Ωt))

これが問題Aの解

T=2π/Ω＝2π/√(ω^2-γ^2)

これが問題Bの解

お礼

r^2<ω^2からΩとして上記のようにおくのですね。
あとはオイラーの式で展開して周期は2π/ωからそのまま導出すればいいということがよくわかりました。本当にありがとうございます。