積分すると1/2とLが消える？

質問

本の計算では、ある式を積分すると1/2とLが消えてしまっていて、自分の計算と合いません。右辺が0なので両辺に2を掛けてLで割った可能性もあるのですが、1/2が消えるのはまだ許せても、Lが消えるのは納得いきません。（消していいものなのか、もしくは別の理由で消えたのか、判断願います。）

原文を引用します：

※関係式：
∫[0,L] cos (2nπx/L) dx = ∫[0,L] sin (2nπx/L) dx = 0 (式1.17a)
(nは正あるいは負の整数)

[前略]
…さらに、

(1/2) * { da[0](t) }/dt + Σ[n=1,∞] { da[n](t) }/dt * cos(2nπx/L) + Σ[n=1,∞] { db[n](t) }/dt * sin(2nπx/L)
= -D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * a[n](t) * cos(2nπx/L) - D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * b[n](t) * sin(2nπx/L)
（式7.6）

…の両辺をそのままx=0からx=Lまで積分すると、先の関係式(式1.17a)より、

{ da[0](t) }/dt = 0 (式7.7c)

が得られる。

・・・以上、引用終わり。

私の計算だと、（式7.6）の両辺をそのままx=0からx=Lまで積分するので：
(1/2) * { da[0](t) }/dt *∫[0,L] 1 dx
+ Σ[n=1,∞] { da[n](t) }/dt * ∫[0,L] cos(2nπx/L) dx
+ Σ[n=1,∞] { db[n](t) }/dt * ∫[0,L] sin(2nπx/L) dx
= -D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * a[n](t) * ∫[0,L] cos(2nπx/L) dx
- D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * b[n](t) * ∫[0,L] sin(2nπx/L) dx
になり、
∫[0,L] cos (2nπx/L) dx = ∫[0,L] sin (2nπx/L) dx = 0 (式1.17a)
により、
∫[0,L] cos(2nπx/L) dx
∫[0,L] sin(2nπx/L) dx
はすべて0になります。
残りを計算すると
(1/2) * { da[0](t) }/dt *∫[0,L] 1 dx = 0
(1/2) * { da[0](t) }/dt * [x][0,L] = 0
(1/2) * { da[0](t) }/dt * [L-0] = 0
(1/2) * { da[0](t) }/dt * L = 0
になります。本の答えは
{ da[0](t) }/dt = 0
なので合いません。

[概略]（原文が凄まじく長いので、自分の言葉で書きました…なんとなく分かっていただけたらと思います…足りなかったら補足します）
u(x,t)
が時刻tにおける座標xでの温度uを表します。
このとき、1次元の熱伝導方程式
{ δu(x,t) }/δt = D * { δ^(2) * u(x,t) }/{ δx^(2) } （式7.1）
を解くためにフーリエ級数をどう使うのか、というのが今回のテーマです。
最初の時刻(t=0)での温度分布（つまり、初期条件）は
u(x,0) = f(x) （式7.2）
とします。

例として、長さLの「リング状の」棒での熱伝導を考えます。リング状なので、棒に沿って「ある点」をx=0とすると、
x=x[0]
と
x=x[0]+L
は同じ点に対応するため、「温度uが座標xについて周期Lの周期関数である」という周期的境界条件
u(x,t) = u(x+L,t)（式7.3）
が任意の時刻t (>=0)で成り立っている必要があります。
このときには初期温度分布f(x)にも条件が付き、
f(x) = f(x+L)（式7.4）
が成り立っていないといけません。すなわち、f(x)も周期Lの周期関数です。

u(x,t)をフーリエ級数展開すると、
u(x,t) = (1/2) * a[0](t) + Σ[n=1,∞] a[n](t) cos (2nπx/L) + Σ[n=1,∞] b[n](t) sin (2nπx/L)（式7.5）
になり、この（式7.5）を（式7.1）に代入して項別の偏微分をすると、私の質問に出てくる
(1/2) * { da[0](t) }/dt + Σ[n=1,∞] { da[n](t) }/dt * cos(2nπx/L) + Σ[n=1,∞] { db[n](t) }/dt * sin(2nπx/L)
= -D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * a[n](t) * cos(2nπx/L) - D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * b[n](t) * sin(2nπx/L)
（式7.6）
になります。

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

ならば、長さ0のリング状の棒の議論を、改めてご自身でやり直せばよかろう。
その場合、フーリエ級数の式に既に「2nπx/L」とかいう式が出ていますが、この計算もできない事をお忘れなく。大体『熱伝導』、とかいう『物理』を考えているのに、「長さ0のリング状の棒」とかを議論する意味がありますか？

もう一度いいますが、これは物理の問題ですよ。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。決め手は「2nπx/L」です。ただ、『物理』だからといっても範囲指定が無いなら長さ0の挙動も考慮すべきだと思っています。正しく書くなら、一度{ da[0](t) }/dt * L = 0まで計算し、L>0なので{ da[0](t) }/dt = 0、と書くべきだと思います。またお願いします。ありがとうございました。

回答No.2

tmppassenger

これは、物理の問題で、
> 長さLの「リング状の」棒
というのを考えているのではなかったのですか？

お礼

ありがとうございます。
問題中に長さLの範囲指定がありませんので、私は長さLが0のリング状の棒もあり得ると思っています。そして、あの式を見ただけでは、その点に限って何故か突如{ da[0](t) }/dtの値が0以外の値を示す可能性も拭い去れません。

No.1さんがLを消しても問題ない、という理由は何ですか？
まず、例えば、何の制限も無い、単なるxL = 0のような式の場合にLを消せますか？
Yes/Noの質問です。
もしYesなら、その理由をお願いします。（私の元々の質問は、こちらの場合を想定していました。）
もしNoなら、その理由をお願いします。
もしその理由が「リング状の棒は長さL>0であるため」というのであれば、リング状の棒が必ずL>0を満たすべき理由をお願いします。

回答No.1

tmppassenger

> 両辺に2を掛けてLで割った可能性も
この通りです。別に問題ないでしょう？

お礼

回答、ありがとうございます。
私の引っ掛かっているところをどうか論破願います。
例えば、(1/2)x=0の場合、1/2は0以外の数値なので確実にxが0です。
ただ、xL=0の場合、
x=0
L=0
x=0 and L=0
の三通りの可能性がありますが、長さLが0ではないと言い切れる理由は何ですか？もちろん、0からLまで積分するというのにLが0だとその範囲は0になるのは理解できています。