積分

質問

わからない問題があるのですが、

(1) 実数ζ<=0 をパラメータとする有理型関数
f(z) =exp(-iζz)/(1 + z2) ; z2∈ C
を考える．実軸上の線分C1 = [-R;R] とRe^iθ (0<=θ<=π) で表される半円C2
からなる閉曲線に反時計回りの向きを入れた積分路をC とする．ただし，R > 1
は定数であるとき、
∫ｆ（ｚ）dz = πexp(ζ)
を示せ．
(2)ζ＜＝ 0 のとき
∫[-∞,∞]exp(-iζt)/(1 + t^2) dt =πexp(ζ) を示せ．
(3) ζ > 0 のとき
∫[-∞,∞]exp(-iζt)(1 + t^2) dt を求めよ．
という問題で、（１）は積分すればいいような気がしたのですが、わかりません。
どなたかよろしくおねがいします。

回答No.2

rnakamra

(3)
これは
ζ > 0 のとき
∫[-∞,∞]exp(-iζt)/(1 + t^2) dt を求めよ．
の間違いですか。(元の式でも収束するが値は違います)

この場合は積分経路C2の代わりにC3としてRe^(iθ) (θ：0→-π)をとり閉じた経路を作ります。
(1)と同様にこの積分はR>1において一定の値をとりその値はz=-iでの留数の-2πi倍になります。(この積分の向きが時計回りであるためマイナスがつきます)

R→∞　とするとC3上の経路をとった積分は"0"に収束しますので実軸上の積分も収束するでしょう。

もし(3)の問題が
ζ > 0 のとき
∫[-∞,∞]exp(-iζt)(1 + t^2) dt を求めよ．
であれば、この被積分関数はいたるところで正則であるため、閉じた経路での積分は"0"になります。C3の経路での積分はR→∞で"0"に収束しますので実軸上での積分も"0"に収束します。

回答No.1

alice_44

(1)
C の内部に含まれる f(z) の極は、
exp が整関数であることから、z = i だけです。
ここでの留数が判れば、留数定理から
C を周る閉路積分の値が解ります。
z = i は 1 位の極ですから、
留数は lim[z→i] (z-i)f(z) で求められます。

(2)
上記の積分で R→∞ の極限をとればよいです。
C のうち半円周部分の線上では、f(z) の値は
z の -2 乗以上の速さで 0 に近付きます。
｜exp(-iζz)｜ = exp(ζ｜Im z｜) が、
ζ ≦ 0 のために、｜z｜→∞ で非増大だからです。
これに半円周の弧長を掛けて ｜z｜→∞ とすると
半円周部分の積分→0 が言えます。
よって、実軸上の積分=(1)の値 となるのです。

(3)
ζ ＞ 0 の場合は、｜z｜→∞ のとき
｜f(z)｜→∞ が言えますから、
上と同様の議論によって、実軸上の積分=∞ が示せます。