- ベストアンサー
複素積分
In=1/2πi∫ c f(z)z^-n-1dz cは積分路でz=exp(iθ)で円周上を正の向きに回る。 f(z)=(2z^2+5z+2)/(2z^2-5z+2)です。 nは任意の整数としたとき複素積分Inはどうなるかわかりません。解き方のヒントを教えていただけたらありがたいです。よろしくお願いします。
- kakakasi12
- お礼率71% (10/14)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
念のため確認しますが被積分関数のf(z)の後ろのz^-n-1はz^(-n-1)ということですよね。 そのつもりでお答えします。 経路が単位円となっていますので、|z|<1の領域にあるすべての特異点の留数の和を求めればよい、ということです。 まず、特異点を探します。z=1/2はnの値に関係なく1位の特異点です。 n<0の場合、特異点は1個だけです。 n≧0の場合、z=0がn+1位の特異点になります。 次に留数を求めます。 z=1/2における留数は簡単に計算できます。 z=0における留数を公式から求めるのは面倒です。 f(z)をz=0の周りでテーラー展開したほうが簡単そうです。z^nの係数が求める留数になります。このテーラー展開もf(z)の式を部分分数に分解してしまえば簡単です。
関連するQ&A
- 複素積分の解き方がわかりません
円周 |z - 1| = 1 上で反時計回りに複素積分を行い、 ∫( z^n / (z - 1)^n )dz の値を求めよという問題がわかりません。 |z - 1| = 1より、 C : z = 1 + exp(iθ) であり、線積分の公式 ∫{C} f(z)dz = ∫{a→b} f(z(t))z'(t) dt (ただし、{}は積分範囲) という公式を当てはめると、 ∫{π→0} ( (1 + exp(iθ))^n/(exp(iθ))^n ) × iexp(iθ) dθ と考えたのですが、この積分を解くことができません。それとも、それ以前で間違えているのでしょうか？ わかる人がいれば詳しく教えていただけるとありがたいです。回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の問題
複素積分の問題 次の複素積分の問題が分かりません. アドバイスいただけたら幸いです. 次の複素関数について以下の問に答えよ f(z) = z^-c / ( 1+z ) ただし、0<c<1 （1）複素平面上におけるf(z) の全ての特異点を求めよ （2）図中の閉曲線をγとする閉曲線γの矢印にそった向きの「周回積分」 ∫γ f(z)dzを求めよ γRは半径(R>1)の円し,γｒは半径(r<1)の円を表す （3）z=R exp(iθ)またはr=R exp(iθ) (0<θ<2π)とおくことにより, 曲線及び曲線に沿った「周回積分」の絶対値 │∫γR f(z)dz│および、│∫γr f(z)dz│ がR→∞、r→0の極限において0に収束することを証明せよ (4)以上の結果を用い、次の「積分」 ∫（0→∞） x^-c / ( 1+x ) dx = π/ (sinπc) を証明せよ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
複素関数f(z)を、 f(z)=(1-e^(2iz))/z^2 (zはC/{0}の元) とします。 （１）z=0におけるローラン展開 （２）R>0に対して、上半円弧CrをCr={z=Re^(iθ) : 0≦θ≦π}とし、 反時計回りに向きを入れるとき、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz という上記の二問についてですが、 （１）について e^zのテイラー展開にz=2izを代入し f(z)=(1/z^2){1-(1+z+(z^2)/2!+…} =-Σ[n=1→∞] (((2i)^n)z^(n-2))/n! と強引に計算しましたが、これで大丈夫なのでしょうか？ （２）について z=Re^(iθ)を与式に直接代入して、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz =lim[R→∞] ∫[0,π] {1-e^(2iRe^(iθ))}/{Re^(iθ)} dθ として、ここから積分評価をしていきたいのですが、どのようにして考えていけばよいのでしょうか？とりあえず、被積分関数の絶対値を考えてみたのですが、うまくいきません。どなたかアドバイスをいただけませんか？ 以上の二問ですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分について
複素数cと実数ξとし、 f(z)=(e^(iξz))/(z-c) という複素関数を考えます。 lr={z=t ; -r<t<r} 、Cr+={z=re^(it) ; 0≦t≦π} 、 Cr-={z=re^(-it) ; 0≦t≦π} として、lrとCr+を合わせた曲線をγ+、lrとCr-を合わせた曲線をγ-とします。 ここで、 （１）Im c≠0、|c|<rとしたとき、f(z)のγ+、γ-上の積分 （２）Im c≠0、ξ≠0のとき、実軸上の積分、 ∫[-r,r] f(x)dx , r→∞ という問題なのですが、（１）については、 ）Im c>0のとき γ-上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ-] f(z)dz=0。 また、γ+上の積分は、留数定理により、∫[γ+] f(z)dz=2πie^(iξc)。 ）Im c<0のとき γ+上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ+] f(z)dz=0。 また、γ-上の積分は、留数定理により、∫[γ-] f(z)dz=2πie^(iξc)。 となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか？ また、（２）については、 ∫[γ+] f(z)dz + ∫[γ-] f(z)dz =∫[Cr+] f(z)dz +∫[Cr-] f(z)dz+2∫[lr] f(x)dx と考えたのですが、左辺については、Im cの符号によらず4πie^(iξc)となると思いますが、右辺については、よくわからなくなってしまいました。どのようにして、考えていけばよいのでしょうか？どなたかお力添えよろしくお願いします。 読みにくい文章で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分値を複素関数を使って求める
お世話になります。 【問題】 実変数θに対する下記の積分値を、複素関数を使って求めよ。 ∫[ 0 → 2π ]1 / ( 5 - 3cosθ )^2 dθ 【自分の解答】 オイラーの公式より cosθ = ( exp( iθ) + exp( -iθ ) ) / 2 これを与式に代入して ∫[ 0 → 2π ]1 / ( 5 - 3 ( exp( iθ) + exp( -iθ ) ) / 2 )^2 dθ = (*) ここで z = exp( iθ) + exp( -iθ ) とおくと dθ/ dz = 1 / (dz / dθ) = 1 / iz ∴dθ= ( 1 / iz )dz また θ:0 → 2π z :2 → 2 よって (*) = ∫[2 → 2]1 / ( 5 - 3z / 2 )^2 ( 1 / iz )dz (ここから不明) 【質問】 上記のやり方では積分範囲が2 → 2となり被積分関数がどんなものであろうとその積分値は0になってしまいます。 私の解答は間違っていると思うのですが、何が間違っているのか、どうすれば正しくなるのかがわかりません。 どなたかご教授よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の問題です。
複素積分の問題です。 複素平面上の３つの曲線 C: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?2π) D: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?4π) C1: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?π) C2: z(θ)= 1+1/2re^(-iθ) (0?θ?π) を考える。このとき、複素積分 ∫_c?1/(z-1)dz,4 ∫_D?1/(z-1)dz, ∫_c1?1/(z-1)dz, ∫_c2?1/(z-1)dz, ∫_c?1/zdz の値をそれぞれ求めよ。またその結果により、どのような定理が立つことが予想されるか。 全然わからないので是非よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分（コーシーの積分定理）について質問です
zを複素数としする。コーシーの積分定理によれば「関数f(z)が領域Dで正則であるとして、領域D内の任意の閉曲線Cの内部が領域Dに含まれる場合、閉曲線Cに沿った関数f(z)の周回積分は0になる。」が成り立つと思います。 そこで次の問題を考えました。（zは複素数変数、aは実数の定数、iは虚数単位とする） 「原点を中心とする半径aの円を閉曲線Cとする。閉曲線Cに沿った、関数f(z)=1/(z-ai)の周回積分Iをを求める。」 閉曲線Cの内部で関数f(z)は正則だけれども、閉曲線Cは関数f(z)が正則でないz=aiの点を含んでいるのでコーシーの積分定理は利用できない。…(1) そこで、次のように積分を行うことにしました。閉曲線Ｃを複素数で表して、C：z=a*exp(iθ) (0≦θ≦2π) dz/dθ=ai*exp(iθ) よってI =∫f(z)dz =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ (積分範囲は0≦θ≦2π) ここで、[Ln(a*exp(iθ)-ai)](0≦θ≦2π)=0…(2) そこで質問です。 (1)は正しく、閉曲線の外周上に被積分関数が正則で無い部分があるなら、コーシーの積分定理は成立しないのでしょうか？ (2)ln(z)は無限多価関数なので、どの複素関数の不定積分でもないと思ったので、Ln(z)を不定積分として用いたのですが、これは大丈夫なのでしょうか？ ご回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。よく理解できました！