複素積分：上側円弧部分の計算値
- 複素積分の上側円弧部分の計算値について考えます。
- 複素積分の経路は実軸の上下と上向きの半円で構成されます。
- この経路に沿って計算すると、積分の結果はπとなります。
- ベストアンサー
複素積分：上側円弧部分の計算値
∫1/(1+z^2)dz で経路は-R→+Rの実軸と、+Rから時計回りに大きく上に半円を描いて-Rに戻る、という単純なものを考えます。 閉ループ内部で極はiのみで、ここの留数は1/(2i)で、 積分は2πi・{1/(2i)}=π のはずです。で、実数部分（実軸-R→R）も ∫1/(1+x^2)dx=[atan(x)](-R→R)=2atan(R) R→∞とすると、これが2・(π/2)→π （ここはいいかな？） で、あとは、半円の円弧の部分がＲ→∞で0になればいいのですが、 I(円弧)=∫1/(1+z^2)dz=[atan(z)](-R,R)→2atan(R)→πとなるのではないかと心配します。丁寧にz=Re^(iθ) としても、dz=iRe^(iθ)で、積分式は I(円弧)=∫[0,π][1/(1+R^2・e^(2iθ)]{iRe^(iθ)}dθ=[atan(Rθ)](0→π)→2atan(R) でこれがＲ→∞で、πになるのではないかと（ここがおかしい？）。 円弧の積分は ∫{1/(1+R^2e^(2iθ))}iRe^(iθ)dθで、これは、絶対値の関係から この円弧部分はＲ→∞で、0に収束しなくてはならないはず。 理由pが１以上で|f(z)|≦Mλ^(-p)が成り立つなら∫f(z)dz→0 |f(z)|=1/|z^2+1|≦1/(|z|^2-1)=1/(λ^2-1)<2/λ^2→0 で、∫{1/(1+z^2)dz→0 （Ｒ→∞） 不思議：実軸と上半分の円弧、内部の留数、で、 （実軸部分）＋（円弧部分）＝2πi（内部の留数） で、円弧部分がＲ→∞で→0となり、左辺がπ、右辺もπ、となると思うけれど、 円弧部分が、2atan(R)になるのが不思議です。これはＲ→∞でπと思うけれど、0になるんでしょうか。積分端の２つの∞で、一方をπ/2他方を-π/2(-π/2-0)とでもすれば0ですが。 上記のように絶対値から押さえる方法ではR→∞で、円弧部分は零になりますが。 どこの考え方に問題があるんでしょうか。
- bluesky1333
- お礼率33% (2/6)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
∫[0,π][1/(1+R^2・e^(2iθ)]{iRe^(iθ)}dθ = [atan(Rθ)](0→π) と書いてあるのは、 ∫[0,π][1/(1+R^2・e^(2iθ)]{iRe^(iθ)}dθ = [atan(Re^(iθ))](0→π) の間違いでしょう？ x が実数でも、複素数でも、 ∫1/(1+x^2)dx = atan(x) + (積分定数) ←[*] です。 そこは、単なる書き損じで、問題の出所ではないと思いますが。 問題のカラクリは、[*] の (積分定数) が、 複素積分の場合、積分経路に依存して変わる ことにあります。 atan(Re^(iπ)) - atan(Re^(i0)) の二つの atan は (積分定数) が異なるため、引数がたまたま実数だからといって 実 atan に ±R を代入してよい訳ではなく、 -2atan(R) でなくて -2atan(R) + (積分定数の差) となるのです。 今回の経路のとり方では、どうやら (積分定数の差) = π であるらしく、 結果的に、上半円周での積分が 0 になりました。 では、この (積分定数の差) をどうやって求めるか というと、 積分経路と特異点の位置関係を考えて、留数定理によって求める のが通常です。他には、あまりやり方がありません。 つまり、今回の貴方の計算によって、逆に (上半円周経路での atan の積分定数の差) = π と結論するのです。
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
うん, 「ここがおかしい？」のところがあやしい. これ, 要するに 「atan(Rθ) を微分すると [1/(1+R^2・e^(2iθ)]{iRe^(iθ)} になる」 っていうこと?
補足
{atan(Re^(iθ))}´=[1/(1+R^2・e^(2iθ)]・{iRe^(iθ)}ということです。でθの下端0と上端πで定積分するとatan(Re^(iθ))→atan(-R)-atan(R)=-atan(R)-atan(R)=-2atan(R)。 (e^(i0)=cos0+isin0→1, e^(iπ)=cosπ+isinπ→-1) {atan(x)}´=1/(1+x^2)の公式です。x=Re^(iθ)としてあてはめてます。関数の微分を掛けることになるので{Re^(iθ)}´={iRe^(iθ)}がかかります。（公式の正しさは確認済。）要は、 (1)積分をすると半径Ｒの半円の部分の積分が-2atan(R)となり、Ｒ→∞とすると、-2atan(R)→-π、になりそう。 (2)ところが、∫1/(1+z^2)dzの積分の半円部分は、Ｒ→∞とすると→0になるよう（本などでもそう論じられてる）。 上記の(1),(2)の矛盾が解けない、ということです。よろしくお願いします。
関連するQ&A
- 複素積分について
複素数cと実数ξとし、 f(z)=(e^(iξz))/(z-c) という複素関数を考えます。 lr={z=t ; -r<t<r} 、Cr+={z=re^(it) ; 0≦t≦π} 、 Cr-={z=re^(-it) ; 0≦t≦π} として、lrとCr+を合わせた曲線をγ+、lrとCr-を合わせた曲線をγ-とします。 ここで、 （１）Im c≠0、|c|<rとしたとき、f(z)のγ+、γ-上の積分 （２）Im c≠0、ξ≠0のとき、実軸上の積分、 ∫[-r,r] f(x)dx , r→∞ という問題なのですが、（１）については、 ）Im c>0のとき γ-上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ-] f(z)dz=0。 また、γ+上の積分は、留数定理により、∫[γ+] f(z)dz=2πie^(iξc)。 ）Im c<0のとき γ+上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ+] f(z)dz=0。 また、γ-上の積分は、留数定理により、∫[γ-] f(z)dz=2πie^(iξc)。 となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか？ また、（２）については、 ∫[γ+] f(z)dz + ∫[γ-] f(z)dz =∫[Cr+] f(z)dz +∫[Cr-] f(z)dz+2∫[lr] f(x)dx と考えたのですが、左辺については、Im cの符号によらず4πie^(iξc)となると思いますが、右辺については、よくわからなくなってしまいました。どのようにして、考えていけばよいのでしょうか？どなたかお力添えよろしくお願いします。 読みにくい文章で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分
複素関数f(z)を、 f(z)=(1-e^(2iz))/z^2 (zはC/{0}の元) とします。 （１）z=0におけるローラン展開 （２）R>0に対して、上半円弧CrをCr={z=Re^(iθ) : 0≦θ≦π}とし、 反時計回りに向きを入れるとき、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz という上記の二問についてですが、 （１）について e^zのテイラー展開にz=2izを代入し f(z)=(1/z^2){1-(1+z+(z^2)/2!+…} =-Σ[n=1→∞] (((2i)^n)z^(n-2))/n! と強引に計算しましたが、これで大丈夫なのでしょうか？ （２）について z=Re^(iθ)を与式に直接代入して、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz =lim[R→∞] ∫[0,π] {1-e^(2iRe^(iθ))}/{Re^(iθ)} dθ として、ここから積分評価をしていきたいのですが、どのようにして考えていけばよいのでしょうか？とりあえず、被積分関数の絶対値を考えてみたのですが、うまくいきません。どなたかアドバイスをいただけませんか？ 以上の二問ですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ー∞から∞までの複素積分について
実軸上の－R≦ｘ≦Rを直径とする半円の経路を積分して求めるやり方がありますよね。たとえば 1/(x^2+a^2) ただし（a>0) をー∞から∞までｘで積分するという問題で、これを上半円周上の経路積分、1/(z^2+a^2)に置き換えると、 半円部分の積分はZ＝R*e^iθとおいてやると、被積分関数はRie^iθ/(R^2*e^2iθ+a^2)となりますが、これがR→∞のときに０に収束するということがいいたいのですが言えません。どうしたらいえるでしょうか？ 何か意味不明な文章かもしれませんがよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の問題について。
複素積分の問題を解いてみたのですが、手元に答えがないうえに合っているか自信がないので、チェックしていただけると助かります。解法に誤りがあったらどうぞ指摘してください。自分の中では、留数の求め方が怪しいです。 以下、積分の経路Cは原点中心半径8の円で正の向きとします。 (1)∫ 1/sin(z) dz (2)∫ 1/(1-cos(z)) dz (3)∫ (1+z)/(1-e^z) dz (4)∫ tan(z) dz (1)∫ 1/sin(z) dz f(z)=1/sin(z) について、f(z) は z=mπ で特異点をとり、特にCの内部では z=0,±π,±2π が特異点となる。 ここで各点における留数を求めると、 Res(0)=1 Res(π)=-1 Res(-π)=-1 Res(2π)=1 Res(-2π)=1 となるので、 ∫ 1/sin(z) dz=2πi(1-1-1+1+1)=2πi (2)∫ 1/(1-cos(z)) dz f(z)=1/(1-cos(z)) について、f(z) は cos(z)=1、つまり z=2mπ で特異点をとり、特にCの内部では z=0,±2π が特異点となる。ここで f(z) を z=0 のまわりで展開すると、 f(z)=1/(1-1/2(z^2)+1/24(z^4)-・・・) =1/(1/2(z^2)-1/24(z^4)+・・・) であることから、Res(0)=0 同様に、Res(π)=0,Res(-π)=0 なので、 ∫1/(1-cos(z)) dz=2πi・0=0 (3)∫ (1+z)/(1-e^z) dz f(z)=(1+z)/(1-e^z) について、f(z) は z=2πim（mは整数）で特異点をとり、とくにCの内部では z=0,±2πi で特異点となる。ここで、 Res(0)=-1 Res(2πi)=-1-2πi Res(-2πi)=-1+2πi となるので、 ∫(1+z)/(1-e^z) dz=2πi(-1-1-2πi-1+2πi)=-6πi (4)∫ tan(z) dz f(z)=tan(z)=sin(z)/cos(z) について、f(z) は z=(2m+1)π/2 で特異点をとり、特にCの内部では z=±π/2、±3π/2,±5π/2 で特異点となる。ここで、 Res(±π/2)=-1 Res(±3π/2)=-1 Res(±5π/2)=-1 となるので、 ∫tan(z) dz=2πi・(-6)=-12πi
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
I1=∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxを複素積分を使って求めます。 まず ∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxの被積分関数の分子にi*sin(a*x)を （iは虚数単位）を加えても加えた部分が奇関数でかわらないので加え ると ∫[-∞,-∞]{cos(a*x)+i*sin(a*x)}/(x^2+b^2)dxとなります するとI=∫[-∞,-∞]exp(i*a*x)/(x^2+b^2)dxです。 ここで複素積分 I=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は実軸と虚軸の正の部分を通る 反時計回りの半径Rの半円） またI2=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は虚軸の正の部分のみを通 る反時計回りの半径Rの半円）を考えるとRが十分大きいとき I=I1+I2・・・(1)になります。 Iは留数定理よりI=2*π*i*Res[f,i*b]=π*exp(-a*b)/b・・・(2) I2はz=R*exp(i*θ)とおき I2=∫[0,π]exp(i*a*R*exp(i*θ))/(R*exp(i*θ)^2+b^2)dθ =∫[0,π]exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)/(R^2*exp (2*i*θ)+b^2)dθ 三角不等式より 0<｜I2｜<∫[0,π]｜exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)｜/｜(R^2*exp(2*i*θ)+b^2)｜dθ<π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜・・・(3) ここでsinθ >0よりでexp(-a*R*sinθ)<1なので π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜<π*R/｜-R^2+b^2｜となり π*R/｜-R^2+b^2｜はR-->∞で0なので結局 ｜I2｜-->0 なので(1)より I1=π*exp(-a*b)/bが答えです。 これはわかるのですが、スタートで i*sin(a*x)ではなく-i*sin(a*x)を加えても変わらないですよね？ そこで-i*sin(a*x)を加えて実際にやってみると (2)の部分はπ*exp(a*b)/bに変わってしまい、また (3)の部分はπ*R*exp(a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜となってしまいこれでは R-->∞で発散するように思えます。 どこがまちがっているのでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 留数定理を用いた有理関数の無限積分
教科書の例題に ∫[-∞→∞] 1/(x^2+1)dx という問題の解き方があります。そこには、 実軸上の線分[-r,r]と、原点を中心とする上半円Cr:|z|=rを結ぶジョルダン曲線Cを考える。無機は正方向とする。留数定理によれば ∫[C] f(z)dz = ∫[-r→r] f(x)dx + ∫[Cr] f(z)dz = 2πiR(i) (ただし、R(i)はz=iにおける留数) である。R(i) = 1/2i であるから、 ∫[-∞→∞] f(x)dx = π-lim[r→∞] ∫[Cr] f(z)dz の形に書けるから、最後の項=0 が示されればよい。 と書いてあります。でも、私にはなぜ 最後の項=0 を示す必要があるかがわかりません。留数定理より、 与式 = 2πiR(i) = π と求めてはいけないのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分 ∫[-∞→∞] (sinx)/x dxについて
∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。 手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました F(z)=exp(iz)/zとおく F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1) D2は半径εの半円弧である F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A) F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0（証明長くなるので省略) また、D2での積分は ∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz と分けるとF(z)-(1/z)はz=0で正則なのでε→0のとき積分の値は0 … (2) ∫[D2] (1/z) dz は z=εexp(iθ)とおいて計算すると-πiになる (A)でX,Y→∞ ε→0とすると ∫[-∞→∞] (exp(ix)/x dx - πi =0 …(B) exp(ix)=cos(x)+isin(x)より、 ∫[-∞→∞] (cosx)/x dx + i∫[－∞→∞] (sinx)/x dx = πi 両辺の虚部をとって 虚部をとって∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π ここまでが教科書での解答の大まかな流れです 疑問点は以下のとおりです A:(1)で0を避けた理由 B:(2)でF(z)=F(z)-(1/z)+(1/z)と分けたのはどこから来たのか C:(2)でF(z)-(1/z)はz=0で正則とあるがz=0で1/zは定義できないのに正則? D:D1とD3は回答中で触れてないが無視していいのか E:この問題はタイトルの積分を留数定理で解けという問題だったのですが留数定理使ってないような？ 長くなりましたがよろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分
わからない問題があるのですが、 (1) 実数ζ<=0 をパラメータとする有理型関数 f(z) =exp(-iζz)/(1 + z2) ; z2∈ C を考える．実軸上の線分C1 = [-R;R] とRe^iθ (0<=θ<=π) で表される半円C2 からなる閉曲線に反時計回りの向きを入れた積分路をC とする．ただし，R > 1 は定数であるとき、 ∫ｆ（ｚ）dz = πexp(ζ) を示せ． (2)ζ＜＝ 0 のとき ∫[-∞,∞]exp(-iζt)/(1 + t^2) dt =πexp(ζ) を示せ． (3) ζ > 0 のとき ∫[-∞,∞]exp(-iζt)(1 + t^2) dt を求めよ． という問題で、（１）は積分すればいいような気がしたのですが、わかりません。 どなたかよろしくおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
「単なる書き損じ」ご指摘の通りです。「質問の本質」のところに関し、この回答を頂き、深く感銘を受けました。そうですか、、これは私だけで悩んでいたら何年も解決できないことでした。心の底より感謝いたします。奥深いものだと感心したり、自分のレベルの未熟さを痛感しました。お陰様で昨日より今日、重要なことで賢くなりました。本当に有難う御座いました。うれしいです。