複素積分：上側円弧部分の計算値

質問

∫1/(1+z^2)dz で経路は-R→+Rの実軸と、+Rから時計回りに大きく上に半円を描いて-Rに戻る、という単純なものを考えます。
閉ループ内部で極はiのみで、ここの留数は1/(2i)で、
積分は2πi・{1/(2i)}=π
のはずです。で、実数部分（実軸-R→R）も
∫1/(1+x^2)dx=[atan(x)](-R→R)=2atan(R)
R→∞とすると、これが2・(π/2)→π　（ここはいいかな？）
で、あとは、半円の円弧の部分がＲ→∞で0になればいいのですが、
I(円弧)=∫1/(1+z^2)dz=[atan(z)](-R,R)→2atan(R)→πとなるのではないかと心配します。丁寧にz=Re^(iθ)
としても、dz=iRe^(iθ)で、積分式は
I(円弧)=∫[0,π][1/(1+R^2・e^(2iθ)]{iRe^(iθ)}dθ=[atan(Rθ)](0→π)→2atan(R)
でこれがＲ→∞で、πになるのではないかと（ここがおかしい？）。
円弧の積分は
∫{1/(1+R^2e^(2iθ))}iRe^(iθ)dθで、これは、絶対値の関係から
この円弧部分はＲ→∞で、0に収束しなくてはならないはず。
理由pが１以上で|f(z)|≦Mλ^(-p)が成り立つなら∫f(z)dz→0
|f(z)|=1/|z^2+1|≦1/(|z|^2-1)=1/(λ^2-1)<2/λ^2→0
で、∫{1/(1+z^2)dz→0 （Ｒ→∞）

不思議：実軸と上半分の円弧、内部の留数、で、
（実軸部分）＋（円弧部分）＝2πi（内部の留数）
で、円弧部分がＲ→∞で→0となり、左辺がπ、右辺もπ、となると思うけれど、
円弧部分が、2atan(R)になるのが不思議です。これはＲ→∞でπと思うけれど、0になるんでしょうか。積分端の２つの∞で、一方をπ/2他方を-π/2(-π/2-0)とでもすれば0ですが。
上記のように絶対値から押さえる方法ではR→∞で、円弧部分は零になりますが。

どこの考え方に問題があるんでしょうか。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

∫[0,π][1/(1+R^2・e^(2iθ)]{iRe^(iθ)}dθ = [atan(Rθ)](0→π)
と書いてあるのは、
∫[0,π][1/(1+R^2・e^(2iθ)]{iRe^(iθ)}dθ = [atan(Re^(iθ))](0→π)
の間違いでしょう？
x が実数でも、複素数でも、
∫1/(1+x^2)dx = atan(x) + (積分定数) ←[*] です。
そこは、単なる書き損じで、問題の出所ではないと思いますが。

問題のカラクリは、[*] の (積分定数) が、
複素積分の場合、積分経路に依存して変わる ことにあります。
atan(Re^(iπ)) - atan(Re^(i0)) の二つの atan は
(積分定数) が異なるため、引数がたまたま実数だからといって
実 atan に ±R を代入してよい訳ではなく、
-2atan(R) でなくて -2atan(R) + (積分定数の差) となるのです。
今回の経路のとり方では、どうやら (積分定数の差) = π であるらしく、
結果的に、上半円周での積分が 0 になりました。

では、この (積分定数の差) をどうやって求めるか というと、
積分経路と特異点の位置関係を考えて、留数定理によって求める
のが通常です。他には、あまりやり方がありません。
つまり、今回の貴方の計算によって、逆に
(上半円周経路での atan の積分定数の差) = π と結論するのです。

お礼

「単なる書き損じ」ご指摘の通りです。「質問の本質」のところに関し、この回答を頂き、深く感銘を受けました。そうですか、、これは私だけで悩んでいたら何年も解決できないことでした。心の底より感謝いたします。奥深いものだと感心したり、自分のレベルの未熟さを痛感しました。お陰様で昨日より今日、重要なことで賢くなりました。本当に有難う御座いました。うれしいです。

回答No.1

Tacosan

うん, 「ここがおかしい？」のところがあやしい.

これ, 要するに
「atan(Rθ) を微分すると [1/(1+R^2・e^(2iθ)]{iRe^(iθ)} になる」
っていうこと?

補足

{atan(Re^(iθ))}´=[1/(1+R^2・e^(2iθ)]・{iRe^(iθ)}ということです。でθの下端0と上端πで定積分するとatan(Re^(iθ))→atan(-R)-atan(R)=-atan(R)-atan(R)=-2atan(R)。
(e^(i0)=cos0+isin0→1, e^(iπ)=cosπ+isinπ→-1)
{atan(x)}´=1/(1+x^2)の公式です。x=Re^(iθ)としてあてはめてます。関数の微分を掛けることになるので{Re^(iθ)}´={iRe^(iθ)}がかかります。（公式の正しさは確認済。）要は、
(1)積分をすると半径Ｒの半円の部分の積分が-2atan(R)となり、Ｒ→∞とすると、-2atan(R)→-π、になりそう。
(2)ところが、∫1/(1+z^2)dzの積分の半円部分は、Ｒ→∞とすると→0になるよう（本などでもそう論じられてる）。
上記の(1),(2)の矛盾が解けない、ということです。よろしくお願いします。