複素関数の周回積分

質問

例えば、

∫_[C]dz/(z^2+1)
Cは原点を中心とする半径2の円を反時計回りに一周する周回積分

この問題は、
=(1/2i)∫_[C]dz/(z-i)-(1/2i)∫_[C]dz/(z+i)
に変形して、左側はz=iを中心とした単位円、右側はz=-iを中心とした単位円を考えればいいんですよね？
この場合、
=(1/2i)∫[0,2π](ie^iθdθ/e^iθ)-(1/2i)∫[0,2π](ie^iθdθ/e^iθ)
=0
と計算終わってから気付いたのですが、単位円の範囲は0から2πではなく2πから0ではないのですか？
教科書などの説明では閉曲線Cの内側に閉曲線C'を考えるとき、C'はCの反対回りなので∫_[C]=∫_[-C']なんですよね？

回答No.2

Meowth · ベストアンサー

C:原点を中心とする半径2の円
C1:z=iを中心とした単位円
C2:z=-iを中心とした単位円
Cを反時計回りに一周する周回積分
=Cを反時計回りに一周する周回積分
+C1を反時計回りに一周する周回積分
+C1はを時計回りに一周する周回積分
+C2を反時計回りに一周する周回積分
+C2を時計回りに一周する周回積分
=[Cを反時計回りに一周する周回積分+
+C1はを時計回りに一周する周回積分
+C2を時計回りに一周する周回積分]
+C1を反時計回りに一周する周回積分
+C2を反時計回りに一周する周回積分
[]内は正則な領域の積分なので
コーシーの積分定理で０
結局
Cを反時計回りに一周する周回積分
＝
+C1を反時計回りに一周する周回積分
+C2を反時計回りに一周する周回積分
で両方とも反時計回りが正解

お礼

＞=[Cを反時計回りに一周する周回積分+
＞+C1はを時計回りに一周する周回積分
＞+C2を時計回りに一周する周回積分]
＞+C1を反時計回りに一周する周回積分
＞+C2を反時計回りに一周する周回積分
＞[]内は正則な領域の積分なので
＞コーシーの積分定理で０

[]内を0なら
＞+C1を反時計回りに一周する周回積分
＞+C2を反時計回りに一周する周回積分
の部分を0にしてもいいのではないのですか？
それなら
Cを反時計回りに一周する周回積分
＝
+C1を時計回りに一周する周回積分
+C2を時計回りに一周する周回積分
となり、両方とも時計回りに積分となってしまうのではないのでしょうか？

回答No.5

hugen

＞教科書などの説明では閉曲線Cの内側に閉曲線C'を考えるとき、
「C'はCの反対回り」なので∫_[C]=∫_[-C']なんですよね？

C'はCの反対回り
-C'は「Cの反対回り」の反対回り

回答No.4

Meowth

ANo.1　koko_u_u氏へのお礼から、

>教科書などの説明では閉曲線Cの内側に閉曲線C'を考えるとき、
>C'はCの反対回りなので
境界Cの積分の方向がどっち回りかは、教科書に書いてあるでしょう。
表現はいろいろですが、たとえば
”領域が左手になるように進む”
とか。
（内側にあるからとかで決まるわけではありません、　どの領域の境界かが大事なのです）
C1の円の外側の領域を考えているときは、円の内部が領域の外部
だから、時計周り
C1の円の内部の領域にとっては、反時計周りが積分する向き。

やはり今中に作る円は外側の閉曲線の反対向きではないのでしょうか？
C1,C2をくりぬいてつくった正則な領域にとってはそうなります。

C1,C2で囲まれた正則でない領域にとっては、反時計周りが積分する方向になります。

0から2πと2πから0なら普通同じだと思うのでいいのかもしれませんが…

積分の方向を逆にしたら、符号が反対になります。　同じじゃありません。

お礼

色々考えてようやくわかりました！ありがとうございます^^
No2の説明が一番シンプルでわかりやすいですね。

コーシーの積分定理への理解が足りていませんでした。
＞（内側にあるからとかで決まるわけではありません、　どの領域の境界かが大事なのです）
＞C1の円の外側の領域を考えているときは、円の内部が領域の外部
だから、時計周り
＞C1の円の内部の領域にとっては、反時計周りが積分する向き。
この辺が私にとってはとても参考になりました。
本当にありがとうございました。

回答No.3

Meowth

[]内を0なら
＞+C1を反時計回りに一周する周回積分
＞+C2を反時計回りに一周する周回積分
の部分を0にしてもいいのではないのですか？
０にならないからわざわざはずしたんです。
領域全体で正則になるようにしたので、Cの内側ととC1とC2の外側で囲まれた領域で1 /(z^2+1)が正則になり、０とおけたのです。
もともと全体で正則なら、領域をわきなくても０でしょ。
"それなら" =C1、C2内に特異点がなく正則で、積分が０
なら、
Cを反時計回りに一周する周回積分=0
+C1を時計回りに一周する周回積分=0
+C2を時計回りに一周する周回積分＝０
だから、どのように足しても成り立ちます。
"となり、両方とも時計回りに積分となってしまうのではないのでしょうか？”
右回りでも左回りでもどうでもいいです。
０＝０＋０＝－０＋（－０）
ですから

回答No.1

koko_u_u

>教科書などの説明では閉曲線Cの内側に閉曲線C'を考えるとき、
>C'はCの反対回りなので
それは留数定理を証明する際の説明のどこかなんでしょうなぁ。

>左側はz=iを中心とした単位円、右側はz=-iを中心とした単位円を考えればいいんですよね？
nennem さんが十分に理解できていないような気がします。
自分で納得して「単位円を考えれば良い」と書いてますか？

お礼

留数定理というのは初めて聞いたのですが、なんだか同じような定理をすぐにやるんですね。

ここでさらにわからなくなってしまったのですが、
留数定理の説明では、閉曲線Cに囲まれる領域の中に円C1、円C2、…円Cnがあり、C、C1、C2、Cnは全て反時計回り。そして∫_[C]=∫_[C1]+∫_[C2]+…+∫_[Cn]となっています。
ですが今私の勉強している多重連結領域に対するコーシーの積分定理というところの説明では、閉曲線C1に囲まれる領域の中にC2、C3、…Cnがあり、C1は反時計回り、C2、C3、Cnは時計回り。そして∫_[C]+∫_[C1]+∫_[C2]+…+∫_[Cn]=0と書かれています。
ただし留数定理の説明の中ではC1C2Cnそれぞれが一つずつ特異点を含んでいるようです。

やはり今中に作る円は外側の閉曲線の反対向きではないのでしょうか？
0から2πと2πから0なら普通同じだと思うのでいいのかもしれませんが…