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質問

周回積分について

ｆ（ｚ）＝1/{（ｚ＾6）-1}として、円周を正方向に1周する積分路とする。

※Ｃ：同点中に半径2
このときの∮c 1/{（ｚ＾6）-1}dzを求めたいのですが、どのようにすればよいのか分かりません。
途中式、解き方、解答をお願いいたします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

再質問の方で解答済みですが、直接留数を計算するのは複素数計算が大変ですね。

f(z)=1/(z^6-1)を部分分数分解した別のやり方で解答してみます。

f(z)=(1/6)/(z-1) -(1/6)/(z+1)
+(1/6)(z-2)/(z^2-z+1)
-(1/6)(z+2)/(z^2+z+1)

なので積分を分けて
円c:|z|=2を半時計まわりに回る積分路で複素積分する。
I=∮[c] 1/(z^6-1)dz
=(1/6)∮[|z|=2] dz/(z-1)-(1/6)∮[|z|=2] dz/(z+1)
+(1/6)∮[|z|=2] (z-2)/(z^2-z+1)dz
-(1/6)∮[|z|=2] (z+2)/(z^2+z+1)dz
前２項にコーシーの積分公式を適用して
I1=(1/6)∮[|z|=2] dz/(z-1)-(1/6)∮[|z|=2] dz/(z+1)
=(1/6)2πi*1-(1/6)2πi*1=0
後ろ２項はそれぞれu=z-(1/2), u=z+(1/2)なる変数変換
をすると
I2=(1/6)∮[|z|=2] (z-2)/(z^2-z+1)dz
=(1/6)∮[|u+(1/2)|=2] (u-(3/2))/(u^2+(3/4))du
極はu=±i(√3)/2なのでコーシーの積分公式を適用して
I2=(2πi/6)[{(i(√3)/2-(3/2))/(i(√3))}
+{(-i(√3)/2-(3/2))/(-i(√3))}]
=(πi/3)[{i(√3)/2-(3/2)}
+{i(√3)/2+(3/2)}]/(i(√3))
=πi/3

I3=-(1/6)∮[|z|=2] (z+2)/(z^2+z+1)dz
=-(1/6)∮[|u-(1/2)|=2] (u+(3/2))/(u^2+(3/4))du
極はu=±i(√3)/2なのでコーシーの積分公式を適用して
I3=-(2πi/6)[{(i(√3)/2+(3/2))/(i(√3))}
+{(-i(√3)/2+(3/2))/(-i(√3))}]
=-(πi/3)[{i(√3)/2+(3/2)}
+{i(√3)/2-(3/2)}]/(i(√3))
=-πi/3

以上から
I=I1+I2+I3=0+(πi/3)-(πi/3)
=0　... (答)

回答No.1

info222_

>円周を正方向に1周する積分路とする。
>※Ｃ：同点中に半径2
これだけでは積分経路Cの円周がどんなもの分かりません。
円の中心はどこですか？
あるいは、円の方程式は|z|=2でしょうか？（中心(0,0),半径r=2）

補足

(0,0) 半径2です