複素解析（ローラン展開、線積分）

質問

2問あるのですが、アドバイス、解答の糸口をお願いします。

1.
Cを単位円正の方向一周とするとき、この積分路について以下の積分を求めよ。
∫|z-1||dz|

|dz|はどのようにすれば積分実行が可能になるのでしょうか？

2.
次の関数の位数および留数を求めよ。
1/(z*sinz)

2.はsinzについてテイラー展開を行うのかと思いましたが、それだと通分ができず、各項を独立させられなくなり、分からず仕舞いになってしまいました。。。

回答No.2

guuman · ベストアンサー

オイラーの式を勉強して１を修正せよ
極の位数はz^nをかけたときにz→０で∞にならない最小の整数nだ
留数の定義を勉強してそれを簡潔に補足に書け
以上を踏まえて補足に修正版を書け

回答No.4

guuman

2(2)
はドロピタルを使った方がいいのでは？
z=sin(z)とするのは大胆過ぎるぞ
z=0以外の留数はつまらんものなので自分で始末をつけろ

1はexpを使うなとは言っていない
z=exp(iz)
は両辺にzがはいっていたので書き間違いだろうということだ

回答No.3

guuman

よくみなかったのでとちった
オイラーは理解しているみたいなのでさきの１に関するものは取り消す
あんたの間違いは単なる計算間違い
z=exp(iz)とかいてはいけない
z=e^(i・θ)より
|dz|=|i・e^(i・θ)・dθ|=|dθ|=dθ
（最後等式は正方向に積分するから絶対値記号が外れる）
｜z-1|=|e^(i・θ)-1|=√(2(1-cosθ))=2|sin(θ/2)|
つまり絶対値がいるのだよ
以上を踏まえて細くに修正版を書け

補足

1.
z=e^(iθ)とすると
C:0≦θ≦2π,　|dz|=|dθ|,
|z-1|
=|e^(iθ)-1|
=|(cosθ-1)+isinθ|
=2sin(θ/2)

∴∫|z-1||dz|
=2sin(θ/2)dθ　∵θ≧0
=-4[cos(θ/2)] θ:0→2π
=8

2.
(1)z=nπのとき
f(z)を与式とおくと
(z-nπ)^m f(z)
=(z-nπ)^m /zsinz
ここにsin(z-nπ)=(-1)^n *sinzであるから
=((z-nπ)^(m-1)) *(-1)^n /(z(sin(z-nπ))/(z-nπ))
これはm≧1のとき収束するので、1位。
∴R(nπ)
=lim (z-nπ)/zsinz
=lim (-1)^n /z*(sin(z-nπ)/(z-nπ)
=(-1)^n/nπ ただしn≠0

(2)z=0のとき
z^mf(z)
=z^(m-1)/sinz
=z^(m-2)/(sinz/z)
これはm≧2で収束するので2位。
∴R(0)
=1/(2-1)! *lim d/dz *(z^2)/zsinz
=lim (sinz-zcosz)/(sin^2)z
ここでz→0のとき、sinz=zとしてよいから
=lim (1-cosz)/z
=lim (1-cosz)'/z'
=lim sinz/1
=0

でしょうか？

回答No.1

guuman

1.
z=e^(j・θ)
として1から単位円を反時計回りに一周積分せよ

2.
z^?をかけて?-1回微分すればいいだろう

それぞれ過程、解答を補足に書け

補足

1.
z=exp(iz)とすると|dz|=|dθ|

|e^(iz)-1|=√(2(1-cosθ))=2sin(θ/2)

∴∫|z-1||dz|
=∫2sin(θ/2)|dθ|
=2[(-cos(θ/2))]　0→2πが区間
=0

でしょうか？やはり|dθ|の扱い方がよく分からないのですが。。。

2.はさっぱりです。
～～回微分するのは、恐らくm位の極の場合の留数を求める方法を指しているのだと思いますが、この与式がz=0で何位の極なのかがそもそもわからないのです。
　教わった位数の定義は、z=0についての極ならば、(z-0)の分母に於ける最大の指数値　ですが、sinzもz=0に於いて0をとるので、何かしらの考慮が必要だと感じた次第です。
　また、件の～～回微分しろ、というのは、元の式に直接施すのか、何かしらの変形をなした後なのかよくわかりません。
申し訳ないですがまだまだ初級者なので、もうすこし具体的な教示をしていただければ嬉しいです。