- ベストアンサー
次の積分の解き方が分かりません
2問あります。これはコーシーの積分表示で解を出すと思うのですが Cは円|z|=2とする (1)∫c (sinz)/(6z-π) dz (2)∫c (z^4+z^3)/(z+1)^3 dz
- function1230
- お礼率15% (2/13)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
Cは円|z|=2とする (1) I=∫c (sinz)/(6z-π) dz=∫c (sinz/6)/(z-π/6) dz=∫c f(z)/(z-π/6) dz f(z)=sin(z)/6はCを含む領域で正則なのでf(z)/(z-π/6)のC内の一位の特異点はz=π/6のみであることから コーシーの積分表示を用いて I=2πif(π/6)=2πisin(π/6)/6=πi/6 (2) I=∫c (z^4+z^3)/(z+1)^3 dz=∫c (z^3)/(z+1)^2 dz Res{(z^3)/(z+1)^2,z=-1}=lim(z→-1){d(z^3)/dz} =lim(z→-1) 3z^2 =3 留数定理より I=2πi×3=6πi
関連するQ&A
- 複素積分の問題です。
教科書の問題からの抜粋ですが、答えが省略されていて分かりません。私のやり方と答えで良いのでしょうか？教えて下さい。 問、(2z+1)/(z^2-1)を次のかく点を中心とし、半径1の正方向の円に沿って積分せよ。 (1), z=1/3 (2), z=i 答え、 (1), z=1/3を中心として半径1の正方向の円にそっての積分範囲は、C={ z｜-2/3≦ｚ≦4/3 } であり、 与式=∫c(2z+1)/(z^2-1)dz=∫c(2z+1)/(z+1)*1/(z-1)dz と書ける。 ここで(2z+1)/(z+1)は曲線Cの内部で正則なので、コーシーの積分公式より z=1 と置いて、 ∫c(2z+1)/(z+1)*1/(z-1)dz=2πi*(2*1+1)/1+1=3πi (2), z=iを中心として半径1の正方向の円に沿っての積分範囲は、C={ z｜0≦ｚ≦2i } であり、 与式=∫c(2z+1)/(z^2-1)dz=∫c(1/z)*(2z^2+z)/(z^2-1)dz と書ける。 ここで(2z^2+z)/(z^2-1)は曲線Cの内部で正則なので、コーシーの積分公式より z=0 と置いて、 ∫c(1/z)*(2z^2+z)/(z^2-1)dz=2πi*0=0 特に(2)は自信がありません。以上お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素解析（ローラン展開、線積分）
2問あるのですが、アドバイス、解答の糸口をお願いします。 1. Cを単位円正の方向一周とするとき、この積分路について以下の積分を求めよ。 ∫|z-1||dz| |dz|はどのようにすれば積分実行が可能になるのでしょうか？ 2. 次の関数の位数および留数を求めよ。 1/(z*sinz) 2.はsinzについてテイラー展開を行うのかと思いましたが、それだと通分ができず、各項を独立させられなくなり、分からず仕舞いになってしまいました。。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の解法について
こんばんは。複素積分の問題なのですが、例えば ∫c{(x+y)+i(x-y)}dz (積分経路Cは、0～1+i～1) のような問題の場合どのような回答になるでしょうか。 また、 ∫c[z/{(z-2)(z-4)^2}]dz (C:|z|=1) のような問題の場合、|z|=5などの場合はコーシーの積分表示などで解くことができると思うのですが、この問題のように特異点が分からない場合はどうしたらいいでしょうか。どなたか分かる方がおられれば教えていただけると幸いです。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシーの積分公式を使っての初歩的な問題
C:|z|=1,Ｃの向きは偏角の増大する向きとする。 ∫c (z+1)/z dz コーシーの積分公式を使うということまではわかるのですが、使い方がよくわかりません。 答えは2πiになるらしいのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
複素積分の復習をしているのですが、参考書と違う答えが出てきてしまって、なぜその方法が間違っているのかわかりません。 Cを、|Z|=2を反時計回りに回る経路だとして、 ∫_C dz/(z(z-i))…(1) を計算するだけの問題で、答えは、コーシーの積分値の定理より4πiです。 自分は、最初、これを 1/(z(z-i))=i(1/z-1/(z-i)) と変換して、 (1)=i∫_C 1/z - 1/(z-i) dz…(2) ここで、z=0を時計回りに回る経路をC0,z=iを時計回りに回る経路をCiとおくと、 (2)=i(∫_C0 1/z - 1/(z-i) dz+∫_Ci 1/z - 1/(z-i) dz) =i(2πi - 2πi) =0 になってしまいます。この計算が明らかに間違っていることは、ほとんどの分数の複素積分が0になってしまうことからわかるのですが、どこが間違っているのでしょうか。 ＞管理人さんへ 課題を聞いている問題ではなく、復習中にどこが間違っているのかわからないので質問しているだけなので、削除しないでください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分についてです。
∫（z^3+5）dz /z{(z-1)^3} の閉曲線Cに沿った積分を求めるのですが、問題は(1)z=0を中心とした半径1/2の円周を反時計回りに一周した積分値。(2)z=0を中心とした半径2の円周を反時計回りに一周した積分値を求めよ。 なのですが、(1)では特異点1を、(2)では特異点0,1をC内部に含んでいて、積分値は０にならず一定の値をとることは分かるのですが、被積分関数がうまく部分分数分解できず、コーシーの積分公式も使えず、値が求められないのですがどうしたらいいのでしょうか・・・・。
- 締切済み
- 数学・算数
- コーシーの積分定理
こんにちは。僕は今コーシーの積分定理を勉強しているものです。 コーシーの積分定理を使った問題で、どうしても解法がよくわからない問題があるのでお願いします。 ∫[C] z^3/(z-4)^2dz (C：|z|=2) という問題です。この問題に限らず、分母が２乗の形になっているような問題がわかりません。 他の問題だと、z^3/(z-4)/(z-4)のような形にして、f(ξ)=ξ^3/(ξ-4)として解けるのですが、もちろんこの問題だとf(ξ)の分母が0になってしまい、困ってしまいます。 こういった問題はどのような解法を用いればいいのでしょうか。 お手数ですが、おわかりになる方いらっしゃいましたら、ご教授いただけると幸いです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の初歩的な問題について質問です。
Cを中心1,半径1の円とし、向きは正の向きとします。このとき、経路Cに沿った３つの積分 (1) ∫ z^3/(z-3) dz (2) ∫ z/e^z dz (3) ∫ 1/(e^z +1) dz を求めたいのですが、手元に答えがないうえに、合っているか自信がないので正しい解法と解答を教えていただけたら幸いです↓ (1) は ∫ (z+3)+9/(z-3) dz と変形できて、 (z+3) と 1/(z-3) はCとその内部で正則なのでコーシーの定理より0。 (2) は z/e^z がCとその内部で正則なので0。 (3) は 1/(e^z +1) がCとその内部で正則なので0。 自分で解いたらこんな感じになりました。う～ん・・・？
- ベストアンサー
- 数学・算数
