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複素数の積分。
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- grothendieck
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rouseiさん、こんにちは。コーシーの積分公式が問題なく適応できると思います。部分分数に分解して ∫c{sinz /(z-1/3)}dz-∫c{sinz /(z-1/4)}dz (ここまではmmkyさんと同じ)これをコーシーの積分公式 f(z) =(1/2πi)∫c{f(ζ)/(ζ-z)}dζ と比べると求める積分は 2πi(sin(1/3)-sin(1/4)) になると思います。(留数定理でも同じ)
- mmky
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#3です。ごめん記載ミス、修正しておきます。 修正 「だから 虚数部をとれば、 ∫{sinx/(x-1/3)}dx=πcos(1/3) 同様に ∫{sinx/(x-1/4)}dx=πcos(1/4) ということで 」 修正のみ
- mmky
- ベストアンサー率28% (681/2420)
参考程度に ∫sinz / {(3z-1)(4z-1)} dz 1/(3z-1)(4z-1)=3/(3z-1)-4/(4z-1) =1/(z-1/3)-1/(z-1/4) だから2つにわけて =∫{sinz /(z-1/3)}dz-∫{sinz /(z-1/4)}dz そこで、 I=∫{e^iz /(z-1/3)}dz Cεをz=1/3 を中心とした小さい半径εの半円と置いて、 小さい半円を通る上半分の半円積分路Crを考えれば、 実軸上位外は半円の半径r→∞、∫→0 だから結果として、 ∫{e^ix /(x-1/3)}dx-πi*e^i/3=0 {註:∫(Cε) =(1/2)(-2πi)e^i/3} また、 πi*e^i/3=πi{cos(1/3)+isin(1/3)} だから 虚数部をとれば、 ∫{e^ix /(x-1/3)}dx=πcos(1/3) 同様に ∫{e^ix /(x-1/4)}dx=πcos(1/4) ということで ∫sinz / {(3z-1)(4z-1)} dz =π{cos(1/3)-cos(1/4)} という感じになりますね。
- keyguy
- ベストアンサー率28% (135/469)
1/3の周りを左回りに1回回る小さな円をc1とし 1/4の周りを左回りに1回回る小さな円をc2とする。 コーシーの大定理により ∫(c)dzsin(z)/(3z-1)/(4z-1)= ∫(c1)dzsin(z)/(3z-1)/(4z-1)+ ∫(c2)dzsin(z)/(3z-1)/(4z-1)
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