複素数の積分

質問

∫Z^2/(Z^2-a^2)dz
但し、a＞０で、積分路CはZ=aを中心とする半径aの円であり、向きは正の向きとする。

という問題です。これが計算できません。
どうかヒントをお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

被積分関数を部分分数分解して、コーシーの積分公式を使えば、容易に解けます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%88%86%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F

１）被積分関数を部分分数分解します。
　　z^2/(z^2-a^2)＝z/{2(z-a)}+z/{2(z+a)}
　したがって、与式は次のように変形できます。
　(与式)＝∫c z/{2(z-a)}dz+∫c z/{2(z+a)}dz

２）特異点が積分経路内にあるかを調べる。
　先ほど部分分数分解した項のうち、第1項はz=aで特異点を持ち、積分経路CはZ=aを中心とする半径aの円なので、特異点はこの円の中に存在する。
　一方、第2項はz=-aで特異点を持つが、積分経路Cのなかには存在しない。

３）コーシーの積分公式を使う。
　積分経路の内部に特異点を持つ複素積分は、
　　∫cf(z)/(z-b)dz＝2πif(b)
であり、内部に特異点を持たない場合は０になるので、
　　(第1項)＝2πi(a/2)
　　(第2項)＝０
となり、与式は次のようになる。
　　(与式)＝aπi

お礼

ありがとうございます。
部分分数を使えばよかったんですね。
分子分母の次数が同じだから部分分数を使ってもlogで表せれないと思ってその作業をおこたってしまいました。

回答No.3

Mr_Holland

＃１／＃２です。
　またまたお礼をありがとうございます。

＞自分は数学があまり得意じゃないので、2行目から3行目の操作をさりげにできる人間に嫉妬してしまいますね。。。

　少し説明を加えましょう。
　　z/{2(z-a)}+z/{2(z+a)}
　＝1/2 {z/(z-a)+z/(z+a)}
　＝1/2 [{(z-a)+a}/(z-a)+{(z+a)-a}/(z+a)]
　＝1/2 [{(z-a)/(z-a)+a/(z-a)}+{(z+a)/(z+a)-a/(z+a)}]
　＝1/2 [1+a/(z-a)+1-a/(z+a)]

＞よく使うといえば使いますが、ぱっとでてこないですよ。

　私も最初はそうでした。
　でも、この威力を目の当たりにして、それ以来は何かあるたびに部分分数分解できないかを最初に考えてしまいします。
　最初は戸惑いもありましたが、すぐに慣れますよ。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。

数学は鍛錬あるのみですよね。頑張ります。

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　お礼をどうもありがとうございます。

＞部分分数を使えばよかったんですね。
＞分子分母の次数が同じだから部分分数を使ってもlogで表せれないと思ってその作業をおこたってしまいました。

　ちなみに、部分分数分解をさらに行えば、分子のｚを消すことができますよ。
　　z^2/(z^2-a^2)
　＝z/{2(z-a)}+z/{2(z+a)}
　＝1/2 {1+a/(z-a)+1-a/(z+a)}
　＝1+a/2{1/(z-a)-1/(z+a)}

　実数の積分のときなど、ここまで分解すれば積分計算が楽になりますよね。この操作は結構強力です！

お礼

この操作ははじめて見ました。（ただの勉強不足かな・・・）
コレすごいですね。

自分は数学があまり得意じゃないので、2行目から3行目の操作をさりげにできる人間に嫉妬してしまいますね。。。
よく使うといえば使いますが、ぱっとでてこないですよ。

ありがとうございました。