- ベストアンサー
複素数の積分
Mr_Hollandの回答
被積分関数を部分分数分解して、コーシーの積分公式を使えば、容易に解けます。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%88%86%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F 1)被積分関数を部分分数分解します。 z^2/(z^2-a^2)=z/{2(z-a)}+z/{2(z+a)} したがって、与式は次のように変形できます。 (与式)=∫c z/{2(z-a)}dz+∫c z/{2(z+a)}dz 2)特異点が積分経路内にあるかを調べる。 先ほど部分分数分解した項のうち、第1項はz=aで特異点を持ち、積分経路CはZ=aを中心とする半径aの円なので、特異点はこの円の中に存在する。 一方、第2項はz=-aで特異点を持つが、積分経路Cのなかには存在しない。 3)コーシーの積分公式を使う。 積分経路の内部に特異点を持つ複素積分は、 ∫cf(z)/(z-b)dz=2πif(b) であり、内部に特異点を持たない場合は0になるので、 (第1項)=2πi(a/2) (第2項)=0 となり、与式は次のようになる。 (与式)=aπi
関連するQ&A
- 複素平面上の積分について
複素平面状の円C:|z|=2をz=2から 正の向きに一周する積分∫c(z+(1/z))dzの値は? ↑上の問題で、半径が2の円C上で積分をする時の 積分範囲がよくわかりません。申し訳ありませんが、 解法を教えていただけませんでしょうか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の問題です。
教科書の問題からの抜粋ですが、答えが省略されていて分かりません。私のやり方と答えで良いのでしょうか?教えて下さい。 問、(2z+1)/(z^2-1)を次のかく点を中心とし、半径1の正方向の円に沿って積分せよ。 (1), z=1/3 (2), z=i 答え、 (1), z=1/3を中心として半径1の正方向の円にそっての積分範囲は、C={ z|-2/3≦z≦4/3 } であり、 与式=∫c(2z+1)/(z^2-1)dz=∫c(2z+1)/(z+1)*1/(z-1)dz と書ける。 ここで(2z+1)/(z+1)は曲線Cの内部で正則なので、コーシーの積分公式より z=1 と置いて、 ∫c(2z+1)/(z+1)*1/(z-1)dz=2πi*(2*1+1)/1+1=3πi (2), z=iを中心として半径1の正方向の円に沿っての積分範囲は、C={ z|0≦z≦2i } であり、 与式=∫c(2z+1)/(z^2-1)dz=∫c(1/z)*(2z^2+z)/(z^2-1)dz と書ける。 ここで(2z^2+z)/(z^2-1)は曲線Cの内部で正則なので、コーシーの積分公式より z=0 と置いて、 ∫c(1/z)*(2z^2+z)/(z^2-1)dz=2πi*0=0 特に(2)は自信がありません。以上お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の初歩的な問題について質問です。
Cを中心1,半径1の円とし、向きは正の向きとします。このとき、経路Cに沿った3つの積分 (1) ∫ z^3/(z-3) dz (2) ∫ z/e^z dz (3) ∫ 1/(e^z +1) dz を求めたいのですが、手元に答えがないうえに、合っているか自信がないので正しい解法と解答を教えていただけたら幸いです↓ (1) は ∫ (z+3)+9/(z-3) dz と変形できて、 (z+3) と 1/(z-3) はCとその内部で正則なのでコーシーの定理より0。 (2) は z/e^z がCとその内部で正則なので0。 (3) は 1/(e^z +1) がCとその内部で正則なので0。 自分で解いたらこんな感じになりました。う~ん・・・?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分についてです。
∫(z^3+5)dz /z{(z-1)^3} の閉曲線Cに沿った積分を求めるのですが、問題は(1)z=0を中心とした半径1/2の円周を反時計回りに一周した積分値。(2)z=0を中心とした半径2の円周を反時計回りに一周した積分値を求めよ。 なのですが、(1)では特異点1を、(2)では特異点0,1をC内部に含んでいて、積分値は0にならず一定の値をとることは分かるのですが、被積分関数がうまく部分分数分解できず、コーシーの積分公式も使えず、値が求められないのですがどうしたらいいのでしょうか・・・・。
- 締切済み
- 数学・算数
- 周回積分について 100枚
周回積分について f(z)=1/{(z^6)-1}として、円周を正方向に1周する積分路とする。 ※C:同点中に半径2 このときの∮c 1/{(z^6)-1}dzを求めたいのですが、どのようにすればよいのか分かりません。 途中式、解き方、解答をお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。 部分分数を使えばよかったんですね。 分子分母の次数が同じだから部分分数を使ってもlogで表せれないと思ってその作業をおこたってしまいました。