【応用解析】特異点 留数 位数について

質問

特異点、留数、位数の求め方（考え方）を教えてください。
例えば
f(z)=1/(z*sinz)
についてその3つの解説お願い特異点、留数、位数の求め方を教えてください。
自分で考えたのは
特異点はz=0,sinz=0→z=nπ（nは整数）（これもあやふや）
位数はz=0は一次なので1位、sinz=nπはよく分からない
留数は1位とk位（k≧2）の場合の公式があるのでそこに入れるらしい（あやふや）
こんな感じです。
宜しくお願いします。

回答No.1

Suue · ベストアンサー

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
ｓｉｎｚ　＝　０　（ｚは複素数）
を解くときに、ｎπ（ｎは整数）以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、ｓｉｎｚを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、その展開がマイナス何乗の項まで存在するか、ということです。位数が無限大になる「真性特異点」というものもあります。
したがって、この関数はｚ＝０においては１位の極ではありません。もういちどよく考えてください。

留数とは、特異点のローラン展開におけるマイナス１乗の係数のことです。求めたい留数においてそれが何位の極なのかがわかれば、その計算方法も考えればわかるはずです。
留数がわかれば複素積分に応用できるので、留数は複素関数において重要な考えの一つです。

補足

回答有難うございます。

言われた通りオイラーの公式から
sinz=(1/2i)*{e^iz-e^(-iz)}=0とおいて変形すると
Z=0つまりz=nπ(nは整数)以外ないということが確認できました。

>極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、その展開がマイナス何乗の項まで存在するか、ということです。位数が無限大になる「真性特異点」というものもあります。
>したがって、この関数はｚ＝０においては１位の極ではありません。もういちどよく考えてください。
う～んこの場合だと分母がz*sinzでz=0のときzもsinzも同時に0になるから2位ということを言いたいのでしょうか。
それともローラン展開を実際に書いてマイナス何乗の項まであるか調べようということなんでしょうか。
つまり位数の調べ方が具体的にどうすればいいか考えても分からないのです。このヒントだけでは自分には推測できないのですorz
すいません。

ちなみに問題は別ですが、ある問題集には

(1)z=aがf(z)の第k位の極のときg(z)=(z-a)^k*f(z)はz=aで正則である。
(2)f(z)=g(z)/{(z-a)^k}においてg(z)がz=aで正則で、g(a)≠0ならばz=aはf(z)の第k位の極である
(3)z=aがf(z)の第k位の極のとき
Res[z=a]f(z)={1/(k-1)!}*lim[z→a][{d^(k-1)/dz^(k-1)}*{(z-a)^k}*f(z)]
特にz=aがf(z)の第1位の極のとき
Res[z=a]f(z)=lim[z→a](z-a)f(z)

Resは留数の意味

とあり、まず(1)(2)を用いて位数を求めその後(3)で1位かk位で場合分けされた公式を使ってといています。

例えばf(z)=1/{z(z-1)^3}においてRes[z=0]f(z)を求める問題でしたら
(2)を使うために
f(z)=g(z)/{(z-0)^1},g(z)=1/{(z-1)^3}と変形しz=0は第1位と求まり
(3)の1位の場合の公式を用いて
Res[z=0]f(z)=lim[z→0](z-0)f(z)=lim[z→0]【z*[1/{z*(z-1)^3}]】=lim[z→0][1/{(z-1)^3}]=1/{(0-1)^3}=-1
と解いています。

分かりづらいですが括弧は(){}[]【】の順に内側から外側へと展開していきます。

ついでにお分かりでしょうが
質問文の訂正箇所を書かせてください

>についてその3つの解説お願い特異点、留数、位数の求め方を教えてください。
について解説お願いします

>sinz=nπはよく分からない
z=nπの位数がよく分からない

でした。この場を借りて訂正しときます、すいません。

回答No.3

Suue

No.1の者です。
位数の求め方がわからないようでしたら、ローラン展開された形を予想して求めればできます。

まず、関数ｆ（ｚ）をｚ＝０でローラン展開して、
ｆ（ｚ）　＝　Σ（ｋ：from -n to ∞）ａ[ｋ]ｚ＾ｋ　（ｎは正整数）
と展開されたとします。ここでａ[ｋ]は各ｚ＾ｋの係数で、[ｋ]はａの添字を表します。また、これをｎ位の極であるとするために、ａ[－ｎ]≠０とします。

このとき、ｇ（ｚ）＝　ｆ（ｚ）×（ｚ＾ｍ）　（ｍは０以上の整数）　を考えます。
ｍ＜ｎ　のとき、ｌｉｍ（ｚ→０）ｇ（ｚ） ＝ ∞
ｍ＝ｎ　のとき、ｌｉｍ（ｚ→０）ｇ（ｚ） ＝ ａ[－ｎ]
ｎ＜ｍ　のとき、ｌｉｍ（ｚ→０）ｇ（ｚ） ＝ ０

であることが証明できるので、このことがわかれば位数の求め方もわかるはずです。一般の、ｚ→ζ（ζは複素定数）については、ｗ＝ｚ－ζと変数を変換すれば同様に証明できます。
ちなみに複素関数でいう「∞」とは、どのような極限の取り方においても、その絶対値が無限大になることです。詳しくはリーマン球面について学んでください。

お礼

有難う御座いました。

回答No.2

0655076t

(ｚ－ｎπ)ｆ(ｚ)
= (ｚ－ｎπ)*(1)/(z*(sin(z-nπ))*(-1)^(n))

x->0のとき　x/sinx = 1より

(ｚ－ｎπ)ｆ(ｚ)
= (1)/(z*(-1)^(n))

学生ですが先日テストありました

ｚ＝ｎπについては上の変形より１位であることがわかるはず。

お礼

有難う御座いました。
その方法でやってみたところ出来ました。