複素解析での留数定理と特異点について
- 複素解析における留数定理を使って、２つの問題を解くためにチャレンジしています。
- 特異点の求め方や留数の計算方法について迷っています。
- 問題の指示に「反時計回り一周の積分である」と書かれていますが、意識する必要があるのでしょうか。
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複素解析 留数定理
∫[|z|=3] dz/(z^2 -3z+2) ∫[|z|=2] z/(z+1)(z^2 +1) という２つの問題を留数定理を使って自分なりにチャレンジしてみたのですが、よく理解できないところがあるので質問させていただきます。 まず特異点（？）を求めるのに２問とも分母＝０としました。 そして留数を出すのにlim(z→a) f(z)(z-a) としました。 最後に留数定理で2πiをかけて、それぞれ答えが０、πiとなりました。 参考書の見よう見まねでやったので、ほとんどチンプンカンプンな状態なんですが答えとしては合っていますでしょうか。 また、留数を求める際に「○位の極」っていうのを意識しないといけないようなのですが、ここではどうなのでしょうか。 最後に、問題に「反時計回り一周の積分である」とありますが、特に意識しないといけませんか？ よろしくお願いします。
- aebs7188
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No.1です。 最初の問題の分母は(z^2 -3z+2)ですからこれを因数分解して(z-2)(z-1) (z-2)と(z-1)はどちらも２乗や３乗されていないく１乗されています。だからz=2とz=1どちらとも１位の極ですね。 たとえば(z-2)(z-1)^2となっていればz=2は１位の極z=1は２位の極です。 この場合はz=1の留点を求める場合１回微分する必要があります。 次の問題の分母は(z+1)(z^2 +1)ですから因数分解して(z+1)(z+i)(z-i) これはどうでしょうか？ (z+1)と(z+i)と(z-i)はすべて１乗されています。だからz=-1,z=i,z=-iはすべて１位の極ですね。 たとえば(z+1)(z+i)^2(z-i)となっていればz=-1は１位の極、z=-iは２位の極、z=iは１位の極です。 z=-iの留点を求める場合１回微分する必要があります。
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- kevin23
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∫[|z|=2] z/(z+1)(z^2 +1)という問題は ∫[|z|=2] zdz/(z+1)(z^2 +1)ですよね？ 僕が計算する限りでは０とπiで合っているかと思います。 「○位の極」っていうのは留点がいくつ重なっているかというようなイメージでいいんじゃないでしょうか？ たとえば (z+1)は 1位の極 (z+1)^2 は 2位の極 (z+1)^3 は 3位の極 です。 ２位の極以上の場合は計算方法が若干違います。 lim(z→a) f(z)(z-a)は１位の極のときは使えますが２位の極のときは f(z)(z-a)^2を１回微分してlim(z→a)としなければなりません。 同じように３位の極は２回微分、４位の極は３回微分しなければなりません。 このへんは参考書で確認してみてください。 今回は全部１位の極なので特に問題はないと思います。 「反時計回り一周の積分である」というのは特に意識しないでいいと思います。あと留点を求めるときは[|z|=3]や[|z|=2]などの範囲内にあるものだけを計算するように注意しましょう！
お礼
回答ありがとうございます！ そうですか、答えはこれでよかったんですね。 >「○位の極」っていうのは留点がいくつ重なっているかというようなイメージでいいんじゃないでしょうか？ ということですが、この２問の場合どのようにして一位と判断したらよいのでしょうか。 時間に余裕があれば回答お願いしますm(__)m
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お礼
あ、なるほど！よく分かりました！！ 再度ご回答有難うございます！ ためになりました～！