留数のところが・・・。

質問

f(z)=1/{z・sin(z)}
の特異点と、留数を求めよ。

という問題なんですが、特異点はz=0,2πn (n=1,2,3…）ですよね？
ここから、留数のもとめかたがわかりません。
詳しい方お願いします。

留数の定理は一応しっております。

回答No.1

siegmund

> 特異点はz=0,2πn (n=1,2,3…）ですよね？

あれ，分母がゼロになる点ですから，z=0, ±nπ (n=1,2,3…）が特異点ですよ．

z=0 と z=±nπ (n=1,2,3,...)ではちょっと様子が異なります．
z=0 では分母の因子の z も sin(z) もゼロになりますから，ここは２位の極です．
z=±nπ では sin z だけゼロになりますから，これらは１位の極です．

さて，z=0 の周りでは，ローラン展開が
(2)　　f(z) = A/z^2 + B/z + C + Dz + Ez^2 + ...
の形になるわけですから，
(3)　　z^2 f(z) = A + Bz + Cz^2 + Dz^3 + ...
です．
したがって，係数 B (すなわち，留数)は
(4)　　B = lim{z→0} (d/dz){z^2 f(z)}
で求められます．

同様に，z=nπ ならローラン展開は
(5)　　f(z) = B/(z-nπ) + C + D(z-nπ) + E(z-nπ)^2 + ...
ですから，
(6)　　B = lim{z→nπ)} {(z-nπ) f(z-nπ)}
です．

計算は容易ですからお任せします．

公式にするなら，
f(z) が z=a において k 位の極を持つときには，そこでの留数は
(7)　　{1/(k-1)!} lim{z→a} [d^(k-1)/dz^(k-1){(z-a)^k f(z)}
ということになります．
(4)は k=2，(6)は k=1 の場合ですね．

補足

ええと、説明の意味はわかるのですが、ローラン展開がわかりません。
これもついでに説明していただけないでしょうか？