留数の計算です

質問

次の留数を求めよという問題がありまして、

f(z)=1/({(z-a)^m}{(z-b)^n}) (z=aのときの留数)

これを計算していくと答えが
((-1)^(m-1)(n+m-2)!)/((m-1)!(n-1)!(a-b)^(n+m-1))

となるそうなのですが、計算していってもどうして分母に(n-1)!が出てくるのかが
わかりません。どなたかわかりやすく教えてくださいませんでしょうか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

g(z)=(z-a)^m*f(z)とおく。

f(z)においてz=aはm次の極ですので
Res(f(z),z=a)={g^(m-1)(z)|z=a}/(m-1)! (g^(m-1)(z)はg(z)のm-1次導関数)
となります。

g(z)=1/(z-b)^n=(z-b)^(-n)
ですからこれの微分は簡単です。
g'(z)=(-n)*(z-b)^(-n-1)=(-1)*n*(z-b)^{-(n+1)}
g''(z)=(-1)*n*{-(n+1)}*(z-b)^{-(n+1)-1}=(-1)^2*n*(n+1)*(z-b)^{-(n+2)}
g'''(z)=(-1)^2*n*(n+1)*{-(n+2)}*(z-b)^{-(n+2)-1}=(-1)^3*n*(n+1)*(n+2)*(z-b)^{-(n+3)}
...
g^(m-1)(z)=(-1)^(m-1)*n*(n+1)*(n+2)*...*(n+m-2)*(z-b)^{-(n+m-1)}

ここでn*(n+1)*(n+2)*...*(n+m-2)の部分n～n+m-2の自然数の積になりますが、これは1～n+m-2の自然数の積(n+m-2の階乗)を1～n-1の自然数の積(n-1の階乗)で割ったものです。
n*(n+1)*(n+2)*...*(n+m-2)=n*(n+1)*(n+2)*...*(n+m-2)*[1*2*...*(n-1)/{1*2*...*(n-1)}]　←分母と分子に同じ数をかけた、つまり"1"をかけただけ
=1*2*...*(n-1)*n*(n+1)*(n+2)*...*(n+m-2)/{1*2*...*(n-1)} ←積の順番を入れ替えただけ
=(n+m-2)!/(n-1)!
ここから分母に(n-1)!が現れるのです。

お礼

お礼がおそくなり大変申し訳ありません。式を追いながら、自分がいかにおバカな計算間違いをしていたことにようやく気付きました。丁寧に計算していただき本当にありがとうございます。おかげで、階上のミスにすぐに気付くことができました。

回答No.2

ereserve67

z=aのまわりのLaurent展開

f(z)=Σ_{k=-∞}^∞a_k(z-a)^k

を求め，直接留数a_{-1}をとりだしましょう．

まず1/(z-b)^nをz=aのまわりに二項級数展開します：

1/(z-b)^n

=(z-b)^{-n}={(z-a)+(a-b)}^{-n}=(a-b)^{-n}{1+(z-a)/(a-b)}^{-n}

=(a-b)^{-n}Σ_{k=0}^∞(-n;k){(z-a)/(a-b)}^k

=Σ_{k=0}^∞(-n;k)(a-b)^{-n-k}(z-a)^k

ここに(-n;k)は一般の二項係数です．

(-n;k)=(-n)_k/k!

=(-n)(-n-1)(-n-2)・・・(-n-k+1)/k!

=(-1)^kn(n+1)(n+k-1)/k!

=(-1)^k(n+k-1)・・・(n+1)n/k!

この分母分子に(n-1)!をかけると
※この形を整える操作で分母に(n-1)!がでてきます！

(-n;k)=(-1)^k(n+k-1)・・・(n+1)n(n-1)!/{k!(n-1)!}

=(-1)^k(n+k-1)!/{k!(n-1)!}

∴1/{(z-a)^m(z-b)^n}

=Σ_{k=0}^∞(-n;k)(a-b)^{-n-k}(z-a)^{k-m}

ここでz-aの-1乗の係数はk-m=-1,k=m-1として

a_{-1}=(-n;m-1)(a-b)^{-n-m+1}

=(-n;m-1)/(a-b)^{n+m-1}

=(-1)^(m-1)(n+m-2)!/{(m-1)!(n-1)!(a-b)^{n+m-1}}

となります．

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありませんでした。
なるほど確かにこういった解答方法もあるわけですね。すごいです。なかなかすぐには理解できなかったので、すみません。ベストアンサーには選べませんでした。申し訳ありません。