留数の計算

質問

問：　f(z)＝1/(z-1)(z+3)^2 の孤立特異点における留数を求めよ。
僕の答え：
　　　　　孤立特異点は、１と－３
　　　　　　ｚ＝１は、１位の極、ｚ＝－3は、２位の極
　　　　　よって、公式より、
　　　　　Res[z=1]ｆ(z)＝Lim　ｚ→１　(z-1)f(z)＝1/(1+3)^2 = 1/16
　　　　　Res[z=-3]ｆ(z)＝Lim　ｚ→ー-3 1/(2-1)! d/dz{(z+3)^2ｆ(z)}
　　　　　　　＝-1/(z-1)^2＝-1/(-3-1)^2 = -1/16

で、足したら０になる！！
これは、積分の留数定理から言っておかしいと思います。
恐縮ですが、どこで間違えたかお教え下さい。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2,#3です。

A#３の補足の質問について

>正則関数を、閉路 ｃで積分した場合の値　０　と同じなので、
>不思議なのです。
どこかに先入観があってそう思えるだけです。
多くのf(z)のケースをこなして、慣れることですね。

A#3に書いたように
>いろいろなf(z)について部分分数展開して、すべての1位の極の係数（留数）の和をとって確認してみてください。

これを納得いくまでやってみて下さい。
いくつかのf(z)の部分分数展開の例を以下に書いておきますので、すべての留数の和を計算してみてください。これは、複素積分の積分閉路Cをすべての特異点を含むように作ることを意味します。

●f(z)=1/(1+z^2)=(i/2)*1/(z+i)-(i/2)*1/(z-i)
∫[C:|z|=2]f(z)dz=0

●f(z)=1/(z(z+1)(z-2)^2)
=(1/4)*1/z-(1/9)*1/(z+1)-(5/36)*1/(z-2)+(1/6)*1/(z-2)^2
∫[C:|z|=3]f(z)dz=0

●f(z)=z/((z^2+1)(z-2)^2)
　=(1/(6+8i))*1/(z+i)+(1/(6-8i))*1/(z-i)
　　-(3/25)*1/(z-2)+(2/5)*1/(z-2)^2
∫[C:|z|=3]f(z)dz=0

お礼

例題のご提示、ありがとうございます。

●f(z)=1/(z^2+1)=(i/2)*1/(z+i)-(i/2)*1/(z-i)　の場合：
　　　　　　Res[z=i]ｆ(z)＝(z-i)f(z)＝1/(i+i) = 1/2i　　
　　　　　　Res[z=-i]ｆ(z)＝(z+i)f(z)＝1/(-i-i) = -1/2i　　　
おっしゃる通りです。　また、留数は部分分数展開した係数に一致します。

念のため　f(z) = 1/(1-z^2) の場合：
　　　　　　孤立特異点は、１と－1
　　　　　　f(z) = -1/(z-1)(z+1)
　　　　　　共に、１位の極
　　　　　　Res[z=1]ｆ(z)＝(z-1)f(z)＝-1/(1+1) = -1/2　　　
　　　　　　Res[z=-1]ｆ(z)＝(z+1)f(z)＝-1/(-1-1) = 1/2
　　　　　　部分分数展開は、
　　　　　　f(z) = 1/2{-1/(z-1)＋1/(z+1)}
納得しました。
ありがとうございました。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足の回答
> ただの先入観かも知れませんが、
>f(z)を単純な閉曲線ｃに沿って積分すると、
>f(z)がこの内部すべてで正則なら、値は０
>極が、いくつかあると、≠０
>と思っています。

> 留数の値は正しいが、和が０ということは、
> ｃ内に極が、いくつかあっても、∫c f(z)dz　が偶然０になることがある

「ｃ内に極が、いくつかあっても」の書き方が問題です。これだけの言葉で、他の条件は無視して一般化してしまうため、つじつまあわせの「偶然０になることがある」の結論になるのです。

偶然ではなく、z(s)の形と選択的に選んだ特異点（極）を含む閉路Cのとり方によります。選択的に一部の一位の極だけを選べば係数（留数）和が0にならないのは当然の成り行きでしょう。
通常の複素積分では、積分閉路Cのとり方に特徴があり積分値がゼロにならない場合を多く扱います。

いろいろなf(z)について部分分数展開して、すべての1位の極の係数（留数）の和をとって確認してみてください。

補足

＞選択的に一部の一位の極だけを選べば係数（留数）和が0にならないのは当然の成り行きでしょう。
＞通常の複素積分では、、、、、積分値がゼロにならない場合を多く扱います。

その通りなのですが、
質問の場合、留数定理を適用する閉路 ｃを、
内部に、極が２つ（一位と二位が１つずつ）あるようにすると、
∫c f(z)dz　の値は、コーシーの積分定理により、
ｃの形、積分の向きに依らず同じはずです。
で、２つの極に対応する留数の和＝1/16 -　1/16＝０　したがって∫c f(z)dz　が０
というのが、
正則関数を、閉路 ｃで積分した場合の値　０　と同じなので、
不思議なのです。

回答No.2

info22_

> で、足したら０になる！！
> これは、積分の留数定理から言っておかしいと思います。
なぜおかしいと考えるのですか？何か変な先入観がおありではないでしょうか？

式の書き方はともかくとして、留数の計算結果は合っています。
間違ってはいませんよ。

f(z)を部分分数展開した展開式は
f(z)=1/((z-1)(z+3)^2)=(1/16)*1/(z-1)-(1/16)*1/(z+3)-(1/4)*1/(z+3)^2
ですが、お書きの留数の計算はこの 1/(z-1) の項の係数、及び
1/(z+3)の項の係数を計算していることです。
この２つ係数が留数で、質問者さんの計算と同じになっています。
数式計算ソフトで直接留数を求めても質問者さんの計算結果と一致します。

お礼

計算して頂き、お礼申し上げます。

ただの先入観かも知れませんが、
f(z)を単純な閉曲線ｃに沿って積分すると、
f(z)がこの内部すべてで正則なら、値は０
極が、いくつかあると、≠０
と思っています。
∫c f(z)dz　の値は、ｃの内部に極αｎを含むとすると、
留数定理から、∫c f(z)dz＝ΣRes[z=αｎ] (　f(z)　）　　　　　
なので、留数の和は、０になるわけない
と思うわけなのです。

で、留数の値は正しいが、和が０ということは、
ｃ内に極が、いくつかあっても、∫c f(z)dz　が偶然０になることがある
ということでしょうか？

補足

訂正：２πｉ　が抜けてますね。
∫c f(z)dz＝２πｉΣRes[z=αｎ] (　f(z)　）

回答No.1

koko_u_u

>これは、積分の留数定理から言っておかしいと思います。

どして？