留数定理を用いた曲線上の積分計算
- 留数定理を用いて、曲線C上の積分の値を求める問題です。
- 曲線Cはz=iを中心とした半径1の円とし、積分内の関数は(z^4 -1)と(e^z)の積です。
- 求める積分の値は-πei/2であり、解答では-{(πcos1)/2} - {(πsin1)i}/2と表されています。
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留数定理を用いる計算
曲線Ｃが|z-i| = 1 で表される円であるとき、∫c {(e^z)/(z^4 -1)}dz の値を求めよ という問題にて、 (z^4 -1)=(z+i)(z-i)(z+1)(z-1) Ｃはz=iを中心とした半径1の円なので、正則で無い点はz=iのみ z=iにおける留数 Res[f,i]=lim[z→i](z-i)f(z) =(e^i)/{2i(i+1)(i-1)} =(e^i)/(-4i) 留数定理より、 ∫c {(e^z)/(z^4 -1)}dz =2πi{-(e^i)/4i} =-πei/2 と計算しました しかし、解答は -{(πcos1)/2} - {(πsin1)i}/2 とのことでした。 解答から、正則で無い点が2つ、それぞれが2位の極だと考えたのですが、見当がつきません ご教授、お願いします
- skirby112
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-πe^(i)/2 まで求められましたね。 -πe^(i)/2=-{(πcos1)/2} - {(πsin1)i}/2 だから、それでよいのです。
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お礼
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