留数定理を用いる計算

質問

曲線Ｃが|z-i| = 1　で表される円であるとき、∫c {(e^z)/(z^4 -1)}dz　の値を求めよ

という問題にて、
(z^4 -1)=(z+i)(z-i)(z+1)(z-1)　
Ｃはz=iを中心とした半径1の円なので、正則で無い点はz=iのみ
z=iにおける留数
Res[f,i]=lim[z→i](z-i)f(z)
=(e^i)/{2i(i+1)(i-1)}
=(e^i)/(-4i)
留数定理より、
∫c {(e^z)/(z^4 -1)}dz　
=2πi{-(e^i)/4i}
=-πei/2　　　と計算しました
しかし、解答は

-{(πcos1)/2} - {(πsin1)i}/2

とのことでした。
解答から、正則で無い点が2つ、それぞれが2位の極だと考えたのですが、見当がつきません
ご教授、お願いします

回答No.1

noname#26313 · ベストアンサー

-πe^(i)/2 まで求められましたね。
-πe^(i)/2=-{(πcos1)/2} - {(πsin1)i}/2
だから、それでよいのです。

お礼

うわあああああ！と叫んでしまうほど驚いてしまいました
教科書を見直してわかったのですが、オイラーの公式
e^(iθ)=cosθ-isinθ　より、
e^i = cos1+(sin1)iのイコール　だったのですね
単に知識不足だったという・・・目から鱗どころではありませんでしたorz

ご教授、ありがとうございました！