∫(c,(z+1)/z(z-i)^2)dzの値を求めよ。
識者の皆様宜しくお願い致します。
下記の問題を解いているのですが自信がいまひとつです。
このようなとき方でいいでしょうか?
[問]Cが円|z-i=1/2で反時計回りの向きとする時、∫(c,(z+1)/z(z-i)^2)dzの値を求めよ。
[解]
f(z)=z^(-1)(z+1)(z-i)^(-2)において、単純閉曲線|z-i|=1/2の内部ではz=iのみで特異点(つまり、孤立特異点)を持ち、iが2位の極となる。
(∵『f(z)={Σ(k=1..n,(z-ak)^sk}/{Σ(k=1..m,(z-bk)^tk} (但し、a1,a2,…,anは複素数。b1,b2,…,bmは相異なる複素数。s1,s2,…,sn,t1,t2,…,mkは自然数)とする時、bk(k=1,2,…,m)は孤立特異点となり、bkをtk位の極という』)
よって
∫(c,(z+1)/z(z-i)^2)dz=2πiRes(i,f)
(∵『「留数定理」f(z)は単純閉曲線Cの内部に孤立特異点z1,z2,…,znを持つ他はCの内部と周を込めて正則とする。この時、∫(c,f(z)dz=2πiΣ(j=i..n,Res(zj,f))』)
=2πi・lim(z→i,d/dz{(z-i)^2(z+1)/(z(z-i)^2)})
(∵z0がk位の極の時、Res(z0,f)=1/(k-1)!lim(z→z0,d^(k-1)/dz^(k-1)((z-z0)^k)f(z))
=2πi・lim(z→i,d/dz{(z+1)/z})
=2πi・lim(z→i,-1/z^2)
=2πi・1
=2πi
