留数を用いた定積分の問題です。

質問

留数を用いた定積分の問題です。

int_0^2*pi f(θ) dθを求めよ。

ただし、f(θ) = log(5+4cosθ) / 5+4cosθ dθ

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cosθ=(z+z^(-1))/2を用いて、

log(5+4cosθ)と5+4cosθを

zの式に直すところまではできたのですが、

｜int_C f(z) dz｜（だだし、C:|z|=1）

の評価が上手く出来なくて困っています。

どなたかお願いします。

回答No.1

Ginzang · ベストアンサー

評価できなくて当然である。
この int_C f(z) dz は0にはならず、ある正定値をとるのであり、これを求めるのが問題なのである。

・・・と言うより、実際にやってみる方が速い。
その f(z) は、経路 C の内側に極をもっている。具体的に言えば、z = -1/2 に1位の極がある。
この極における留数さえ求めることができれば、もう答えは出る筈だ。

ちなみに、ちょっと計算してみたが、その積分の値は
( 2pi/3 ) log( 5/2 )
になるようだ。

お礼

ありがとうございます！

なるほど。評価できないんですね。
勘違いをしていたみたいです。
仰る通り、実際にやってみます！