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複素関数 留数定理
∫[C] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz の計算 C : √2 * e^(iθ) (π/4 ≦θ≦5π/4) f ( i ) = 1/3 また, ∫{f((i + 1)t)/(1 + 2it^2)) dt = π/6である. ・・・※ ∫[C] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dzを求める過程を教えて下さい. -1-iから1+iに至る直線Ct: (i + 1)t (-1 ≦ t≦ 1)を 考え, ∫[C + Ct] = 2πi Res{f , i} だと考えたのですが, ここから先が分かりません. ※の(i + 1)t が同じなので, それをうまく 利用するというのは分かるのですが, どのように使うのかが分かりません よろしくお願いします. z = i が1位なのか2位なのかという点も教えて下さい.
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I=∫[C] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz =∫[C] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz+∫[Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz -∫[Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz =∫[C+Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz-∫[Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz =I1-I2 I2=∫[Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz Ct上では z=(1+i)t (t=-1→1) なので >∫{f((i + 1)t)/(1 + 2it^2)) dt = π/6である. ・・・※ これが「∫[-1→1]{f((i + 1)t)/(1 + 2it^2)) dt = π/6である. ・・・※」 の間違いであるなら I2=∫[-1→1] {f ((1+i)t) / ( 1+((1+i)t)^2 )} (i+1)dt =(1+i)∫[-1→1] {f ((1+i)t) / ( 1+2it^2 )} dt =(1+i)π/6 I1=∫[C+Ct] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz 問題に書いてないですが、閉路[C+Ct]の経路上と内部でf(z)が正則であることが必要です。 この条件を書き忘れていませんか？ この条件が満たされているとして進めます。 f (z) / ( 1 + z^2 )の閉路[C+Ct]上および内部の一位の特異点は内部のz=i のみであるから Res(z=i)=lim(z→i) f(z)(z-i)/(1+z^2) =lim(z→i) f(z)/(z+i)=f(i)/(2i)=(1/3)/(2i)=1/(6i) したがって留数定理より I1=2πi*Res(z=i)=2π/6=π/3 以上より I=I1-I2=(π/3)-(1+i)π/6=(1-i)π/6 ...(答)
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