留数の計算について

質問

留数の計算で、f(z)=z^2/(z^6+1)のとき、Res(e^(πi/6))=-i/6 になるということですが、普通に計算してはとても面倒に感じられ、する気にもなりません。何か良い方法はありませんか？教えてください。

回答No.2

quadlike · ベストアンサー

次の定理を使えばラクに計算できます。

F(z)とG(z)は z＝a で正則で、F(a)≠0、G(z)は z＝a で1位の零点を持つならば、
Res(F(z)/G(z),z=a)＝F(a)/G ' (a)
が成り立つ。

実質ロピタルの定理です。これを使えば、
Res(f,e^(πi/6))
＝lim[z→e^(πi/6)](z^2/(6z^5))
＝lim[z→e^(πi/6)](1/(6z^3))＝-i/6

お礼

驚くほど簡単にできました。これからもquadlikeさんにはお世話になるかも知れません。ありがとうございました。

回答No.3

info22_

#1です。

ちょっと訂正。
A#1で
「lim[z→πi/6]」の箇所は
「lim[z→e^(πi/6)]」
の転記ミスでしたので訂正しておいてください。

回答No.1

info22_

単位円を描いて考えると良いですね

lim[z→πi/6](z-e^(πi/6))f(z)
=lim[z→πi/6](z^2)/{(z+i)(z^3+i)(z-e^(5πi/6))}
を計算するだけですね。
計算すれば
=-i/6
となるかと思います。

途中計算はやってみてください。

お礼

ありがとうございます。しかし、私の力量では、その先の計算が困難だと思いました。

補足

でも、後ほど計算してみたらすっきりしました。