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留数が上手く求まりません
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>両方とも留数がゼロになってしまいます。 なりません。 計算すれば以下の通り。 z=e^(πi/4)における留数 Res(f(z),z=e^(πi/4))=lim(z→e^(πi/4)) (z^2)(z-e^(πi/4))/(z^4+1) =lim(z→e^(πi/4)) (z^2)/((z-e^(-πi/4))(z-e^(3πi/4))(z-e^(-3πi/4))) =lim(z→e^(πi/4)) (z^2)/((z-e^(-πi/4))(z+e^(-πi/4))(z+e^(πi/4))) =lim(z→e^(πi/4)) (z^2)/((z^2+i)(z+e^(πi/4))) =i/(2i2e^(πi/4))=(1/4)e^(-πi/4) =(1-i)/(4√2) z=e^(3πi/4)における留数 Res(f(z),z=e^(3πi/4))=lim(z→e^(3πi/4)) (z^2)(z-e^(3πi/4))/(z^4+1) =lim(z→e^(3πi/4)) (z^2)/((z-e^(πi/4))(z-e^(-πi/4))(z-e^(-3πi/4))) =lim(z→e^(3πi/4)) (z^2)/((z-e^(πi/4))(z+e^(3πi/4))(z+e^(πi/4))) =lim(z→e^(3πi/4)) (z^2)/((z^2-i)(z+e^(3πi/4))) =(-i/(-2i2))*(-1-i)/√2 =-(1+i)/(4√2) >答えは(√2・π)/2なのですが 違うようです。 積分は、留数定理より 積分=2πi((1-i)/(4√2)-(1+i)/(4√2)) =2πi/(-2i/(4√2)) =-4π√2 ...(答え)
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- Tacosan
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単純に計算すれば 0 でない留数が求まるはず (1位の極だし) なんだけど.... あなたはどう計算して「留数がゼロ」となったんでしょうか?
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