留数定理が分かりません

質問

留数定理を使って∫(cos(x))^(2n)dx 積分範囲は0から2π、nは正の整数を解けという問題です。cos(x)=(1/2)(z+1/Z)と置いてやろうと思いましたが、お手上げです。どなたか詳しい方教えてください。宜しくお願いします。

回答No.1

mazoo · ベストアンサー

そんな感じでいいですよ。
z=e^(ix)
と置けば、xは0から2πまで動くので、zは原点を中心とする単位円上を反時計回りに一周します。そのときの被積分関数は、dx=dz/izを忘れずに計算すれば
(1/2)^(2n) * (z+1/z)^(2n) * 1/iz
になっています。
この関数の積分路内の極はz=0だけです。
よってz=0での留数を求めるわけですが、留数は1/zの係数になっていますので上の被積分関数から実際に計算してみましょう。

補足

すばやい回答ありがとうございます。式を整理したら、((1/2)^(2n)(1/i))/(2n+1)∫((z+1)/z)^(2n)dzとなったのですが、ここからどういうふうに留数z=0を探せばいいんですか？

回答No.3

mazoo

申し訳ないですが、式の変形を少し書いていただけませんか？
まず、
((z+1)/z)^(2n)
が意味不明です。
(z + 1/z)^(2n)
の間違いでしょうか？
敢えてそのように変形したのなら、その理由を教えていただきたいです。
また、私の計算では被積分関数は
(1/2)^(2n) * (z+1/z)^(2n) * 1/iz　（積分路は単位円周上）
です。
あなたのものと比較しますと、
/(2n+1)が出てきません。
また私の式は1/zがかかっています。これは
dx=dz/iz
から出てきたものです。
お手数ですが、よろしくお願いします・

お礼

すいません、私の間違いでした。どうやら、分母の微分を間違ってしてたみたいです（涙）おかげさまで留数を見つけることが出来ました。どうもありがとうございました。またよろしくお願いします。

回答No.2

mazoo

質問に質問で返すようで恐縮ですが、
((1/2)^(2n)(1/i))/(2n+1)∫((z+1)/z)^(2n)dz
はどうやって出てきたのでしょうか？
(2n+1)が不必要で、被積分関数に(1/z)が必要だと思いますが、

補足

ただ、ｚに関係ない物をインテグラルの外に出したものです、そして、((z+1)/z)^(2n)の展開式において、1/zの係数は2nとし、留数定理を使い全体の積分を2πi*2n*インテグラルの外のものとしました。まちがってますでしょうか？