留数定理について

質問

次の問題が解けません

留数定理を用いて次の定積分の値を求めよ．

∫1/(1+(cosθ)^2)dθ
積分範囲
θ:0→2π

です
よろしくお願いします．

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．
rarara888 さん，横から失礼します．

> 1/i*∫4z/(z^4+6z^2+1)dz
> となりました．
> これからどうやって留数を拾うのですか？
> z^4+6z^2+1が因数分解できないのですが．．．

z^4+6z^2+1 = 0 の４つの解を z_1 ～ z_4 とすれば
z^4+6z^2+1 = (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4) ですから，
z^4+6z^2+1 = 0 が解ければよいわけですね．
z^2 の２次方程式ですから解の公式で z^2 が求まり，
それの平方根をとればＯＫです．
結局，
z_1 ～ z_4 = ±i √(3±2√2)
で(複合任意で４通り)，( ) の中身が 3-2√2 になっている２つだけが
円 |z|=1 内の極を与えます．

最終的な答は (√2)π です．

∫1/(1+(cosθ)^2)dθ
は不定積分が求められますからそれから計算してもいいのですが，
今は複素積分の練習なのでしょうね．

回答No.3

rarara888

z=e^iθとするとz=cosθ+isinθ　1/z=cosθ-isinθ
これからcosθ=(z^2+1)/2z
またdz=izdθ
これを代入して周回積分で留数を拾って和を取って2πiばいすればいけますよ。

補足

早速のご回答ありがとうございます．
言われたとおり，
cosθ=(z^2+1)/2z
dz=izdθ
としますと，
1/i*∫4z/(z^4+6z^2+1)dz
となりました．
これからどうやって留数を拾うのですか？
z^4+6z^2+1が因数分解できないのですが．．．

回答No.2

siegmund

> 何らかの課題やレポートのテーマを記載し、ご自分の判断や不明点の> 説明もなく回答のみを求める質問はマナー違反であり、課題内容を転> 載しているものは著作権の侵害となりますため質問削除となります。

ということですので，
質問者さんはもう少しご自分の考えなどをお書きにならないと
削除されそうです．
まあ，問題自体はどこにでもあるような問題ですから，
著作権云々は大丈夫と思いますが...

rabbit_cat さん：
> z=e^iθとすると、
> 1/(1+(cosθ)^2) = Re[2/(2+z^2)]
> ですね。
θ=0 のとき cosθ=1，z=1 ですので
左辺＝1/2
右辺＝2/3
となってしまいますが(ミスタイプ？)．
それから，dz と dθ の変換因子も考えないといけないと思います．

回答No.1

rabbit_cat

z=e^iθとすると、
1/(1+(cosθ)^2) = Re[2/(2+z^2)]
ですね。
これでできますか？