留数定理を用いた積分

質問

∫（ｘ^２/(ｘ^６＋１) ｄｘ(-∞～+∞)の計算なのですが、ｆ（ｘ）を複素関数として留数定理をつかって考えるというのはというのはわかるのですが、留数定理をどう使うのかがわかりません。あと極という言葉の意味がわからないのでそのへんの説明もしてくれたらマジで助かります。回答してくれたら幸いです。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

少し勉強してわかるようになったら、自力解を作って、補足に解答の計算過程を書いてわからないところを質問してください。まったくわからないでは、まだ質問するのは早すぎます。
下記にも複素積分に必要な３つの積分定理（公式）とローラン展開（テイラー展開）が載っていますので、まず複素積分法をちゃんと勉強をして、理解できる用になってから質問してください。
また、ゼロ点や極の概念もあわせて覚えてください。

http://www18.ocn.ne.jp/~hchiba/math/math10.pdf
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/residue/integral2.htm
http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/doc/B/math/node7.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/added/mathB01_80_03.htm
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/complex/node38.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/090cmp.html
http://www2.kobe-u.ac.jp/~ynaito/com/com-16.pdf

ちなみに、質問の積分はπ/3になります。

注）
有理関数の分母の零点(zeros)を有理関数の極（poles）という。

お礼

返事がかなり遅くなって、大変申し訳ありません。
リンク先をいろいろ参照してただいま勉強中です。
ていねいな回答ありがとうございました。

回答No.4

pino-puno

斜めの線積分は実軸の定数倍になるから、０からπ/3で留数定理を使うのが楽だよ！

極はｘ＾６＋１＝Ｏとなるｘの点を考えてその点に近づけたときにｘ^２/(ｘ^６＋１）が∞になる点のこと。

回答No.3

jaspachate

要点をかいつまんで記述します。具体的な計算は教科書や演習書を復習して行ってください。要点だけでほとんど答えのようになってしまいましたが、それだけこの問題は基本的だということです。大抵の教科書や演習書には類似の例題や問題があります。それらをよく読み実際に計算を行ってください。その上でどのステップでひっかかるのかを具体的に質問するようにしましょう。

(1) 根と極の確認
f(z)= z^6+1 = (z-a_1)(z-a_2)・・・(z-a_6)
= ∏[k=1,6](z-a_k) -- k=1,6までの積
ただし、a_k (k=1,6) は z^6 = 1 の6つの根。
従って、lim[z→a_k](z-a_k)/f(z) は確定値をもつので、1/f(z)は6つの一位の極を持つ。かつその確定値は極 z=a_k における留数である。

多項式の根、零点と極の定義、留数の定義を復習し、a_kを計算してください。留数はもっと簡単な表式で表せ、次にそれを示します。

(2) 留数の計算
1/f(z)を部分分数表示する。f(z)を微分すると、
f(z)' = ∏[k≠1](z-a_k) + ∏[k≠2](z-a_k) + ... + ∏[k≠6](z-a_k)
だから、
f(z)'/f(z) = 1/(z-a_1) + 1/(z-a_2) + ... + 1/(z-a_6)
また、f(a_k)'≠0
1/f(z) = (1/f(z)')Σ[k=1,6]1/(z-a_k)
従って z=a_k における z^2/f(z) の留数は次のように求まる。
lim[z→a_k] (z-a_k)z^2/f(z) = ．．．
以上復習して計算してください。

補足）
このテクニックは有理関数以外にも応用できます。
f(z) = (z-a)g(z) (z=aは一位の零点)
とすれば、f(z)' = g(z)+(z-a)g(z)'　だから、
(z-a)/f(z) = 1/{f(z)'-(x-a)g(z)'} → 1/f(a)' ；(z→a)
ただし、f(a)'≠0

(3) 周回積分を考える。
∫[C]z^2/f(z) dz を考え、周回積分路 C=C1+C2 を、
C1 : -R ≦ Re(z) ≦ R
C2 : |z| = R ( 0 ≦ arg(z) ≦ π )
にとる。つまり、実軸上の-R～R、上半平面の半径Rの半円とする。Rは充分大きくとり、上半平面上の極を[C]の内部に入れることができる。
そうすれば、
∫[C]z^2/f(z) dz = 2πi Σ(上半平面上の留数すべて)
極が上半平面にない場合は下半平面に積分路をとります。

コーシーの積分定理と周回積分の単連結について復習してください。
このような積分路の取り方は基本中の基本です。

(4) 積分を実行する。
[C]の積分を[C1]と[C2]に分割すれば、
∫[C]z^2/f(z) dz = ∫[C1]z^2/f(z) dz + ∫[C2]z^2/f(z) dz
∫[C1:-R～R] x^2/f(x) dx → ∫[-∞～∞] x^2/f(x) dx ；(R→∞)
|∫[C2]z^2/f(z) dz| → 0 ；(R→∞)
が示せるので、
∫[-∞～∞] x^2/f(x) dx = 2πi Σ(上半平面上の留数すべて)
と求めることができる。
C1では z=x、C2ではz=Re^(iθ)として考えます。

このような積分路の計算は教科書や演習書にたくさんありますから、練習してください。特に　|∫[C2]z^2/f(z) dz| → 0　となる理由を理解してください。

回答No.2

arrysthmia

関数 f(x) の「極」の定義は、
lim[x→a] f(x) は ∞ 発散するが、
lim[x→a] { (x-a)^n } f(x) が収束するような自然数 n が存在する
a のこと　です。
そのような n の内で最小のものを、極 a の「位数」と言います。
f(x) は、有理関数でなくても構いません。

f(x) が正則でない点は全て f(x) の極になっているとき、
f(x) を「有理関数」と呼びます。
有理式で表される関数という意味ではありません。

f(x) が x の有理式であれば、
f(x) の極は、その既約分母の零点です。
特に有理関数とは限らない f(x) について、
f(x) の極は、関数 1/f(x) の零点です。

複素関数をテーラー展開するとき、中心の位置によっては、
収束半径が 0 になってしまうこともあります。
そのようなとき、ベキ級数に展開する替わりに、負ベキも入れて
lim[n→+∞,m→-∞] Σ[k=m…n] (a_k)(x-c)^k を考えると、
収束する級数が得られることがあります。
この級数を、関数の「ローラン展開」と呼びます。
ローラン展開の、負ベキ部分が偶々全て 0 になったものが
テーラー展開です。

ローラン展開の負ベキ部分が有限項しか無く、他が 0 である場合、
その展開中心 c は、その関数の「極」になります。
(こっちの話を「極」の定義とする本が多いようです。)

この辺から始めていると、留数定理までは、けっこう道程がありますね。
理論はすっ飛ばして、計算方法だけ覚えたいというのであれば、
求めたい積分路の両端を、積分が 0 になるような積分路でつないで
閉路を作り、それが囲む極を数えるのが定石です。

質問の計算であれば、一旦、広義積分の定義
lim[a→-∞,b→+∞] ∫[a～b] (x^2) / (x^6 + 1) dx に返って、
b から a までを実軸に交わらない経路 γ でつなぐことを考えましょう。
留数定理を使って、閉路 [a～b]+γ での積分の値が求まりますが、
a→-∞, b→+∞ とすると、γ 上では、(x^2) / (x^6 + 1) の値が
とても小さくなるので、γ 部分の積分の極限は 0 になります。
この「とても小さくなる」ことを、きちんと計算で示せば完了です。