複素関数ー留数についての質問です

質問

関数　g(z) = 1 / { (e^z + 1)(z - 1)^2 } についての問題です

この関数につき極は z = 1, ( 2n + 1 )π　(n = 0,1,2,・・・)
と求められました。

問題は
複素平面上で原点を中心とする一辺　2R=4πN （Nは正整数）の正方形を積分路Cとした時、g(z)の線積分を求めよ。　です。

R(1) = - e / ( e + 1 ) となりました。

R( (2n+1)π )　の値を求めて、留数定理により
g(z)の線積分　= 2πi{ R(1) + R( (2n+1)π ) }
と求めると思うのですが。

R( (2n+1)π )　の値を求める計算が煩雑でわかりません。
この方法でもよいですし、別解で簡単に解ける解き方がある場合はぜひ教えてください。

回答No.4

de_Raemon

#3です。
g(z)=-1/((z-i(2n+1)π)(1+Ｏ(z-i(2n+1)π))(z-1)^2)
でz→i(2n+1)πとすると、右辺の分母の(z-i(2n+1)π)が0になるため
z=i(2n+1)πが特異点であることがわかります。次にこの式を変形して
g(z)*(z-i(2n+1)π)=-1/((1+Ｏ(z-i(2n+1)π))(z-1)^2)
とします。ここでz→i(2n+1)πとすると、右辺の分母のうち(z-1)^2は明らかに0にはなりません。
また(1+Ｏ(z-i(2n+1)π))のうちＯ(z-i(2n+1)π)の部分は0になりますが、その前にある『1』
のためにやはり0にはなりません。
(z-i(2n+1)π)を1回掛けるとz=i(2n+1)πで正則になるので1位の極であるといえます。

お礼

懇切丁寧にありがとうございます。
よく理解できました。

回答No.3

de_Raemon

R(1)というのはz=1における留数のことですよね？
積分路の正方形の辺の長さとまぎらわしいので、今後は留数をRes(1)のように書くことにします。

＞極は z = 1, ( 2n + 1 )π　(n = 0,1,2,・・・)
z=1はいいんですが、e^z+1=0 を解くと#1さんの言うようにz=i(2n+1)π (n=0,±1,±2,…)になりませんか？

＞R(1) = - e / ( e + 1 ) となりました。
z=1は2位の極なので Res(1)=(d/dz)(g(z)*(z-1)^2)[z→1] ですが、
計算すると Res(1)=-e/((e+1)^2) になりました。

＞R( (2n+1)π )　の値を求める計算が煩雑でわかりません。
まずz=i(2n+1)πが何位の極かを知る必要があります。
e^z=e^(z-i(2n+1)π+i(2n+1)π)=e^(z-i(2n+1)π)*e^(i(2n+1)π)=-e^(z-i(2n+1)π)
=-(1+(z-i(2n+1)π)+(1/2)(z-i(2n+1)π)^2+…)

∴ e^z+1=-(z-i(2n+1)π)-(1/2)(z-i(2n+1)π)^2-…=-(z-i(2n+1)π)(1+Ｏ(z-i(2n+1)π))

∴ g(z)=-1/((z-i(2n+1)π)(1+Ｏ(z-i(2n+1)π))(z-1)^2)
この式からz=i(2n+1)πは1位の極であることがわかり、
Res(i(2n+1)π)=g(z)*(z-i(2n+1)π)[z→i(2n+1)π]=-1/(i(2n+1)π-1)^2 (n=0,±1,±2,…)

＞g(z)の線積分　= 2πi{ R(1) + R( (2n+1)π ) }
＞と求めると思うのですが。
辺の長さが 2R=4π のとき積分経路の内部に含まれる特異点はz=1,z=±iπ。
2R=8π のときは、z=1,z=±iπ,z=±i3π。
結局2R=4πN (N>0の整数)のときは、z=1,z=±iπ,…,z=±i(2N-1)π。
したがってg(z)の線積分=2πi{Res(1)+Σ[k=1～N]Res(±i(2k-1)π)}です。

お礼

問題の最後まで計算していただきありがとうございました。
回答もオーソドックスでわかりやすかったです。

ただ、
＞∴ g(z)=-1/((z-i(2n+1)π)(1+Ｏ(z-i(2n+1)π))(z-1)^2)
＞この式からz=i(2n+1)πは1位の極であることがわかり、

という部分がなぜこの式から１位の極であることがわかるのでしょうか。
当り前のことを聞くようでお恥ずかしいのですが、よろしければ教えて
いただきたいです。

回答していただきありがとうございます。

回答No.2

info22

>この関数につき極は z = 1, ( 2n + 1 )π　(n = 0,1,2,・・・)
と求められました。
間違い。
正：z = 1, ( 2n + 1 )iπ　(n = 0,1,2,・・・)

積分路のRと留数のRが紛らわしいので、留数の記号を
Re(pole)　で書くことにします。

>R(1) = - e / ( e + 1 ) となりました。
間違い。
正：Re(1) = - e / ( e + 1 )^2
計算しなおしてみてください。

虚軸上の極の留数の計算は
Re((2n+1)iπ)=lim[z→(2n+1)iπ] (z-(2n+1)iπ)/{(e^z+1)(z-1)^2}
=lim[z→(2n+1)iπ] 1/{e^z*(z-1)^2+2(z-1)(e^z+1)}(ロピタルの定理）
=-1/{(2n+1)iπ-1}^2={(2n+1)π-i}^2/[1+{(2n+1)π}^2]
　(n = 0,1,2,・・・)
同様にして
Re(-(2n+1)iπ)={(2n+1)π+i}^2/[1+{(2n+1)π}^2]
　(n = 0,1,2,・・・)

Re((2n+1)iπ)+Re(-(2n+1)iπ)=2[{(2n+1)π}^2-1]/[1+{(2n+1)π}^2]
　(n = 0,1,2,・・・)

後はできるでしょう。

分からなければ、途中までの計算を詳細に補足に書いた上、行き詰って分からない箇所を補足質問して下さい。

お礼

留数の計算の時にロピタルの定理を使い計算を簡単にできるのですね。
わかりやすかったです。

ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

>極は z = 1, ( 2n + 1 )π　(n = 0,1,2,・・・)
違います。
z=1,(2n+1)πi (n=0,±1,±2・・・)です。それとも元の関数の形が違うのかな。

z=z0がg(z)の1次の極のときは
Res(g(z),z=z0)=lim[z→z0](z-z0)g(z)で求めることが出来ます。
z=z0+hとでもおくと
lim[h→0]hg(z0+h)を計算すればよい。
hg(z0+h)=h/{(e^(z0+h)+1)(z0+h-1)^2}
=h/{(-e^h+1)(z0+h-1)^2} (e^z0=-1,e^(z0+h)=(e-z0)*(e^h)=-1*e^h)

(z0+h-1)^2→(z0-1)^2 (h→0)ですからあとはh/(-e^h+1)の極限をもとめるだけ。これなら高校の数学でもやっていると思います。

お礼

わかりました。ありがとうございます。
極の計算の間違いもしていただきすみませんでした。