複素関数の主値積分

質問

複素関数の主値積分

b<2aが成り立つとき、下記積分の積分経路C上に
2個の1位の極が存在するらしいのですが、
どこなのか分かりません。
極は下記のようにz±だということは分かりました。

また、積分経路C上で主値積分を行いI=0となることを示したいのですが、
どうすればいいか分かりません。

どなたかご教授いただけたらと思います。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

z- = S.
z+ = T.
とします。

1/(az^2-bz + a) = 1/a(z-S)(z-T) = K[1/(z-S)-1/(z-T)] = Kg(z)
積分値=0を示したいので、Kの値はどうでもよい。
g(z)の主値積分が0であることを示せばよい。

lim{s→S,t→T} {int[z:s,t]g(z)dz +int[z:t,s]g(z)dx
=lim log[(t-S)/(s-S)] - log[(t-T)/(s-T)]
　+log[(s-S)/(t-S)] - log[(s-T)/(t-T)]
=lim 0
= 0

このような問題は初めてなので、あってるかどうか不明。

お礼

ありがとうございます。

そもそも、主値積分というのが分かりません。
ネットで検索しても、この問題に当てはまるような解説が見当たりません。
コーシーの主値積分というのもありますが、
これはコーシーの主値積分ですか？

主値積分の定義、なぜ
lim{s→S,t→T} {int[z:s,t]g(z)dz +int[z:t,s]g(z)dx
という積分をしようというアイデアが浮かんだか、
教えていただけるとうれしいです。