複素積分の初歩的な質問
以下のような問題についてなのですが。。。
問
複素平面z上の単連結領域 -1<Imz<1 で、次の z=-1 から 1 までの
定積分を求めよ。
∫[-1,1]1/(z-i)dz
（被積分関数が 1/(z-i),積分範囲が[-1,1])
僕は実数関数のノリで
[log|z-i|]を原始関数としてやり答えが0になってしまったのですが
解答を見ると以下のようにやっています。
積分経路を z-i = √2*exp(iθ) (-3pi/4 <= θ <= -pi/4)
としてあとは普通に積分。(答えは(pi*i)/2）
つまり -1<Imz<1,-1<=Rez<=1 の範囲で被積分関数は
正則だからコーシーの積分定理より経路を変えても積分値は同じ、
-1から1へまっすぐ積分するのではなく扇形の弧を描くように
積分するということです（と思います)。
で、模範解答のやり方はそれはそれでよく納得できたのですが
僕が最初にやったやり方はなにが不味いのでしょうか。
そもそも原始関数がlog|z-i|がおかしいのでしょうか？
この公式(∫f(x)'/f(x) dx = log|f(x)|）は複素数の範囲だと
成り立たない公式なのでしょうか？
複素関数の積分で被積分関数が特異点を持つときは
exp(iθ)を絡ませるのが常套手段なのでしょうか？
よろしくお願いいたします！
お礼
計算しやすいからだけなのでしょうか。どうも腑に落ちなくて。