複素積分の積分領域について

質問

実定積分　∫dθ/(a+bcosθ) (a>b>0) [0→2π]　を求めよ、という問題です。

私の解き方は、z=e^(iθ)とおいて複素関数の周回積分に置き換えて、
∫dθ/(a+bcosθ) ＝(2/i)∫dz/(bz^2+2az+b)
となります。z={-a±√(a^2-b^2)}/bでそれぞれ１位の極なので、それを留数の計算に持ち込んで解きました。しかし、解答によるとz={-a+√(a^2-b^2)}/bだけが単位円の内部にあるのでこれだけが積分に寄与するとあります。積分領域Cの外にあるから積分には関係無いという事は分かるのですが、このz={-a+√(a^2-b^2)}/bが領域内で、一方のz={-a-√(a^2-b^2)}/bは領域外というのは一体どうやれば分かるのですか？例えば|z-1|=1のようなもっと簡単な領域ならば分かり易いのですが、複雑だとどう判断して良いのか分からなくて困っています。
この問題に限らず、特異点が領域の外にあるのか中にあるのかを判定する良い方法やコツなどを教えてもらえませんか。

回答No.1

noname#199771

絶対値が１より大きいか小さいかですよね。

＞このz={-a+√(a^2-b^2)}/bが領域内

分子の有理化をするのがわかりやすいです。

＞一方のz={-a-√(a^2-b^2)}/bは領域外

こっちは明らかでは？