実定積分の求め方が解りません！！

質問

実定積分の求め方が解りません！！
問：a>|b|>0を満たす実定数a,bに対して、∫1/a+bcos(θ)dθ　　を求めよ。（積分範囲は０～２π）
この問題が解けません。z=exp(iθ）としてやってみたのですが、うまくいきません。コーシーの積分公式を使うらしいのですが…。どなたか教えていただけませんか？！

回答No.1

gotouikusa · ベストアンサー

たぶん，どこで小さな間違いがあったでしょう。
添付画像をご参考になさってください

回答No.4

alice_44

初等的にやろう。ほとんど高校範囲
(ちょっとハミ出すけど)で計算できる。

三角関数を含んだ分数式の積分の定石どおり
u = -1/tan(θ/2) と置いたあと、
変形して出てきた式を睨んで
w = u・√((a+b)/(a-b)) と置きなおせば、

∫[θ=0→2π] dθ/(a + b cosθ)
= ∫[u=-∞→+∞] 2du/((a+b)u↑2 + (a-b))
= (2/√(a↑2 + b↑2)) ∫[w=-∞→+∞] dw/(1 + w↑2)
と変形できる。

最右辺の積分の値は、
w = Arctanφ で置換すれば、
(π/2) - (-π/2) と解る。

回答No.3

gotouikusa

すみません，さっき画像を添付したはずだったのですが…

回答No.2

gotouikusa

Cauchyの積分公式を使わなければならないでしょうか。
結果は同じと思います。なにかあれば補足なさってくださいね。