定積分の値

質問

∫cosφ*exp(A*cosφ+B*sinφ) dφ
∫sinφ*exp(A*cosφ+B*sinφ) dφ
いずれも積分範囲は－π～＋π

この積分を計算することは可能でしょうか？

回答No.3

Ae610 · ベストアンサー

積分表によると類似の積分公式が存在するようなので公式に当てはまるように変数変換して求めてみると・・

1．
∫[-π→π]{cosx・exp(a・cosx＋b・sinx)}dx
=－π{a^2＋b^2}^(-1/2)・{(a^2－b^2＋i・2ab)^(1/2)・I1(√(a^2＋b^2))＋(a^2－b^2－i・2ab)^(1/2)・I1(√(a^2＋b^2))}　　(i:虚数単位)

2．
∫[-π→π]{sinx・exp(a・cosx＋b・sinx)}dx
=－iπ{a^2＋b^2}^(-1/2)・{(a^2－b^2＋i・2ab)^(1/2)・I1(√(a^2＋b^2))－(a^2－b^2－i・2ab)^(1/2)・I1(√(a^2＋b^2))}　(i:虚数単位)

ここでI1(z)は変形ベッセル関数を表すものとする

お礼

ありがとうございます。
数値積分で確認してみます。
その積分表には、以下の積分も掲載されていませんでしょうか？

∫[-π→π]{exp(a・cosx＋b・sinx)}dx

また、その積分表が市販のものでしたら教えて頂けないでしょうか。

回答No.4

Ae610

ANo.3です・・!

同じ積分公式から導ける・・!
∫[-π→π]{exp(A・cosx+B・sinx)}dx = 2π・I0(√(A^2+B^2))

--また、その積分表が市販のものでしたら教えて頂けないでしょうか--

当方はその積分表を所持しているわけではないため書籍名等が分からない・・!
(申し訳ない!)
ただ市販はされていると思う・・!
確か1000頁を越える大部な積分表である(因みに洋書!)

お礼

追加質問にもお答えいただきありがとうございます。
公式集はご存じないとのこと、了解いたしました。

私は、マセマティカで積分を実行してみたのですが、
解析解を得ることができませんでした。
もし、解析積分ができるソフトウェアをご存じでしたら
その際は、ご教示をお願いいたします。

回答No.2

ramayana

留数定理が使えるのでは？
以下、計算間違いがあったら悪しからず。

ご質問の積分をそれぞれ、S(A,B)、T(A,B) と置く：

　　S(A,B) = ∫[-π to π]cos(φ)exp(Acos(φ)+Bsin(φ)) dφ
　　T(A,B) = ∫[-π to π]sin(φ) exp(Acos(φ)+Bsin(φ)) dφ

z = exp(iφ) と置く。オイラーの公式を使って三角関数を指数関数で表すと、次のようになる：

　　S(A,B) = (-i/2)∫[Circle](1+1/z^2)exp(αz+β/z) dz
　　T(A,B) = (-1/2)∫[Circle](1-1/z^2)exp(αz+β/z) dz

ただし、積分範囲の [Circle] は、複素平面上の中心が 0 、半径が 1 の円周上を -1 から -1 まで左回りに 1　周する積分を表す。また、α=A/2+B/(2i)、β=A/2-B/(2i) である。

留数定理により、これらの積分は、「2πi×留数」となる。留数とは、積分内の関数をローラン展開したときの、1/z の係数である。実際にローラン展開すると、次のようになる（注１）：

　　(1+1/z^2)exp(αz+β/z) = (α+β)f(αβ)(1/z) + …
　　　　　　　　　　　　 = Af((A^2+B^2)/4)(1/z) + …
　　(1-1/z^2)exp(αz+β/z) = (-α+β)f(αβ)(1/z) + …
　　　　　　　　　　　　　 = iBf((A^2+B^2)/4)(1/z) + …

ここで、「…」 は、1/z 以外の項の和である。また、f は、次式で定義される関数である（注２）：

　　f(z) = Σ[n=0 to ∞]z^n/(n!(n+1)!)

すると、答は、次のようになる（注３）：

　　S(A,B) = (-i/2)×(2πi)×Af((A^2+B^2)/4)
　　　　　 = πAf((A^2+B^2)/4)
　　T(A,B) = (-1/2)×(2πi)×(iB) f((A^2+B^2)/4)
　　　　　 =πBf((A^2+B^2)/4)

************************

（注１）　(1+1/z^2)exp(αz+β/z) のローラン展開は、(1+1/z^2)×(Σ[n=0 to ∞]α^nz^n /n!) × (Σ[n=0 to ∞]β^nz^(-n) /n!) を計算して得られる。1+1/z^2 を 1-1/z^2 に置き換えて計算すれば、(1-1/z^2)exp(αz+β/z) のローラン展開が得られる。

（注２）　f(z) は、複素平面全体で定義される解析関数である。また、0 以上の実数x に対して f(x) は単調増加である。これが既存のよく知られた関数かどうかは、知らない。

（注３） この結果から、次のことがみてとれる：

[1]　S(A,B):T(A,B) = A:B

[2]　(A,B) を (S(A,B),T(A,B)) に移す写像は、原点を中心とする円を再び原点を中心とする円に移す。

お礼

確かに、留数定理はよいアイデアですね。
確認してからお礼をと思ったのですが、
あまりお礼が遅くなってもと思い、確認はまだ行っておりません。
近いうちに、解析してみようと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

原始関数は求まらんような気がする.

数値的には (あたりまえだけど) 計算できる.

お礼

すぐにレスがついて嬉しかったです。
ありがとうございました。