留数についてお願いします。

質問

留数について極というのがありますが、例えば２位の極というのは閉曲線で囲まれた平面の中に
特異点が２つ含まれているという意味にとらえていいのでしょうか？
つまり、分母の値が０になると値が無限大になるため、

また、例えば、
1/(z^2+1)の留数を求める場合、
何位の極になるのでしょうか？
わかりません。
教えてください。
ｚ＾２＋１が０になるのだから、
Z^2=-1で、Z=+-iとなり、特異点は-iと、+iのふたつあるので、
２位の極となるのでしょうか？

ちなみに、ローラン展開において、Z^-2から始まる場合、２位の極、Z^-1から始まる場合、１位の極となると習いました。

ですが、よく理解できていません。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>Z^2=-1で、Z=+-iとなり、特異点は-iと、+iのふたつあるので、
２位の極となるのでしょうか？

z=-i　は　一位の極、z=i　も　一位の極です。
一位の極が２つあるということです。

2位の極はありません。

>ちなみに、ローラン展開において、Z^-2から始まる場合、２位の極、Z^-1から始まる場合、１位の極となると習いました。

その通りです。

1/((z^2+1)をz=iの周りにローラン展開すると次式のような展開式になりz=iが一位の極と確認できます。
=-i/(2(z-i))+1/4+(i(z-i))/8-(z-i)^2/16-(i(z-i)^3)/32+(z-i)^4/64+...

また1/((z^2+1)をz=-iの周りにローラン展開すると次式のような展開式になりz=-iも一位の極と確認できます。
=i/(2(z+i))+1/4-(i(z+i))/8-(z+i)^2/16+(i(z+i)^3)/32+(z+i)^4/64+...