留数の概要とローラン展開における極の定義
- 留数について極というのがありますが、例えば２位の極というのは閉曲線で囲まれた平面の中に特異点が２つ含まれているという意味にとらえていいのでしょうか？
- 1/(z^2+1)の留数を求める場合、何位の極になるのでしょうか？わかりません。教えてください。ｚ＾２＋１が０になるのだから、Z^2=-1で、Z=+-iとなり、特異点は-iと、+iのふたつあるので、２位の極となるのでしょうか？
- ローラン展開において、Z^-2から始まる場合、２位の極、Z^-1から始まる場合、１位の極となると習いました。ですが、よく理解できていません。
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留数についてお願いします。
留数について極というのがありますが、例えば２位の極というのは閉曲線で囲まれた平面の中に 特異点が２つ含まれているという意味にとらえていいのでしょうか？ つまり、分母の値が０になると値が無限大になるため、 また、例えば、 1/(z^2+1)の留数を求める場合、 何位の極になるのでしょうか？ わかりません。 教えてください。 ｚ＾２＋１が０になるのだから、 Z^2=-1で、Z=+-iとなり、特異点は-iと、+iのふたつあるので、 ２位の極となるのでしょうか？ ちなみに、ローラン展開において、Z^-2から始まる場合、２位の極、Z^-1から始まる場合、１位の極となると習いました。 ですが、よく理解できていません。 よろしくお願いします。
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>Z^2=-1で、Z=+-iとなり、特異点は-iと、+iのふたつあるので、 ２位の極となるのでしょうか？ z=-i は 一位の極、z=i も 一位の極です。 一位の極が２つあるということです。 2位の極はありません。 >ちなみに、ローラン展開において、Z^-2から始まる場合、２位の極、Z^-1から始まる場合、１位の極となると習いました。 その通りです。 1/((z^2+1)をz=iの周りにローラン展開すると次式のような展開式になりz=iが一位の極と確認できます。 =-i/(2(z-i))+1/4+(i(z-i))/8-(z-i)^2/16-(i(z-i)^3)/32+(z-i)^4/64+... また1/((z^2+1)をz=-iの周りにローラン展開すると次式のような展開式になりz=-iも一位の極と確認できます。 =i/(2(z+i))+1/4-(i(z+i))/8-(z+i)^2/16+(i(z+i)^3)/32+(z+i)^4/64+...
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