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3重積分を用いて体積を求める

x^2+y^2<=r^2, y^2+z^2<=r^2, z^2+x^2<=r^2 をみたす点全体がなす立体の体積を求めたいのですが(rはある定数)、これを\int \int \int dx dy dz の形にまとめて書けますか?書ける場合は具体的な式を教えてください、お願いします。

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  • ベストアンサー
  • info22_
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回答No.1

立体の対称性を利用すれば V=∫∫∫[x^2+y^2<=r^2, y^2+z^2<=r^2, z^2+x^2<=r^2] dxdydz =16∫∫∫[x^2+y^2<=r^2, 0<=y<=x=r] dxdy∫[0,(r^2-y^2)^(1/2)]dz =16∫[0,r] dx∫[0,(r^2-x^2)^(1/2)] dy∫[0,(r^2-y^2)^(1/2)]dz と書けます。 計算すると V=(16-8√2)r^3 となりますが…

ghaihgjnv
質問者

お礼

まさに求めていた回答です。なぜこのような式になるかはじっくりかんがえてみようと思います。

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その他の回答 (1)

  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)
回答No.2

当方で計算してみたところでは二重積分で積分領域を分けた形で表現出来て 題意の体積をVとすると V = 16・(1/√2-1/3)r^3 ・・・となった。

ghaihgjnv
質問者

補足

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