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重積分
重積分 ∫∫∫log(a*sqrt(x^2+4y^2+9z^2))dxdydz D={(x,y,z)| 1<x^2+4y^2+9z^2<4} (a>0) この問題をどう進めていいのかわかりません。解答の導出法の解説をお願いします。
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次のように変数変換をしてはいかがでしょうか。 X=x, Y=2y, Z=3z (dX=dx,dY=2dy,dZ=3dz) 直交座標系(X,Y,Z) → 極座標系(R,Φ,Θ) ∴√(x^2+4y^2+9z^2)=√(X^2+Y^2+Z^2)= R こうすれば、積分領域Dも次のように簡単に表せます。 D'={(X,Y,Z)| 1<X^2+Y^2+Z^2<4} ={(R,Φ,Θ)| 1<R<2} 従って、求める重積分は次のように変数分離できます。 (1/6)∫[R:1→2]R^2 log(a/R)dR ∫[Φ:0→2π]dΦ ∫[Θ:0→π] sinΘdΘ ＝(1/6)[R^3 {3log(a/R)+1}/9][R:1→2]×2π×2 ＝(2π/27) {21 log(a)-24 log(2)+7} （かな？）
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